§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1. Структура решений.

Система уравнений (1.1) (§ 1) называется линейной, если линейно зависят от

Мы будем предполагать, что коэффициенты являются непрерывными функциями, заданными при всех значениях Если -квадратная матрица элементов - вектор коэффициентов то в векторной форме линейная система запишется в виде

Требуемое условие Липшица по х для системы (1.1), конечно, имеет место.

Теорема 1. Любое решение системы (1 1) с непрерывными определено при всех значениях то.

Доказательство. Достаточно показать, что любое решение определенное в окрестности неограниченно продолжается в обе стороны от В силу непрерывности ограничены в любом интервале т. е. существует что

Но тогда для имеет место априорная оценка (1.4.6) при После замены на в системе (1.1) из оценки (1.4.6) вытекает априорная оценка для в интервале —0. Таким образом, решение продолжается в любой интервал что и требовалось показать.

Система (1.1) называется однородной, если Однородная линейная система, таким образом, имеет вид

Теорема 2. Множество всех решений системы (1.2) образует линейное пространство размерности где число уравнений в системе (1.2).

Доказательство. Очевидно, вместе с решениями системе (1.2) удовлетворяет любая их линейная комбинация с постоянными коэффициентами, так что линейное пространство.

Рассмотрим матрицу порядка столбцы которой являются решениями системы (1.2) (тогда сама матрица является решением этой системы) и удовлетворяют таким начальным условиям при что единичная матрица. Такая матрица существует и единственна.

Столбцы матрицы как элементы пространства линейно независимы. Действительно, их линейная зависимость означала бы, что при всех для некоторого постоянного ненулевого вектора с. Но при это равенство дает

Столбцы матрицы образуют базис пространства Действительно, если — любое решение, то также является решением, причем По теореме единственности Таким образом, для любого решения верна формула

и, значит, столбцы образуют базис в Теорема доказана.

Определение. Любой набор из линейно-независимых решений, т. е. любой базис пространства называется фундаментальной системой решений.

Смысл доказанной теоремы состоит в том, что если

фундаментальная система решений, то их линейная комбинация с постоянными коэффициентами

представляет собой общее решение системы (1.2), т. е. любое решение может быть получено по этой формуле при подходящих значениях Если — матрица столбцов (1.3), а с — произвольный постоянный вектор-столбец, то формулу (1.4) можно записать в виде

Чтобы удовлетворить условию при мы должны определить вектор с из равенства

Так как в силу теоремы существования и единственности алгебраическая система (1.5) должна иметь единственное решение при любых то в каждой точке матрица невырожденна и из (1.5) следует так что

Замечание Для определителя матрицы справедлива следующая формула Лиувилля [43]

где — след матрицы

Упражнение. Показать, что матрицы двух фундаментальных систем решений связаны равенством где постоянная невырожденная матрица.

Матрица-функция не зависит от выбора фундаментальной системы решений. Матрицу называют фундаментальной матрицей решений: ее столбцы как функции образуют фундаментальную систему решений и

С помощью матрицы формула (1.6), т. е. решение задачи Коши при для системы (1.2), принимает вид

Обратимся теперь к неоднородной системе Ее решение основано на том, что разность двух решений удовлетворяет однородной системе (1.2). Пусть некоторое частное решение системы (1.1), матрица некоторой фундаментальной системы решений однородной системы (1.2). Тогда общее решение неоднородной системы (1.1) может быть представлено в виде

где с — произвольный постоянный вектор. Заметим, что формула

где фундаментальная матрица решений системы (1.2), при любом определяет решение системы (1.1). Если удовлетворить условию при то, используя (1.9) из (1.8), приходим к формуле

дающей общий вид решения задачи Конги для неоднородной системы (1.1). Здесь первое слагаемое (ср. (1.7)) есть решение однородной

схемы (1.2) с условием при второе слагаемое — решени неоднородного уравнения с нулевым условием при

Таким образом, решение линейной системы уравнений сводится к на хождению фундаментальной матрицы решений соответствую щей однородной системы.

Отметим, что в случае скалярного уравнения

и формула (1.10) приводит к формуле (1.3.2). Для общих линейны} систем построить фундаментальную матрицу решений через элементар функции и квадратуры не удается. Однако для важного классг систем с постоянными коэффициентами эта задача может быть доведе на до конца.