9. Полнота пространства Rn.

Рассмотрим евклидово пространство пример 1) векторов с нормой

При получаем пространство которое состоит из множества вещественных чисел с обычными операциями сложения и умножения, в котором нормой является абсолютная величина числа. Ясно, кто сходимость по такой норме является обычной сходимостью числовых последовательностей. Полнота пространства является следствием аксиомы полноты множества вещественных чисел: всякая фундаментальная последовательность вещественных чисел является сходящейся. Заметим, что при построении теории вещественных чисел в качестве аксиомы полноты может быть взята либо аксиома о сходимости фундаментальной последовательности, либо аксиома о существовании точной верхней грани у любого ограниченного множества Доказано, что эти аксиомы эквивалентны.

Перейдем к пространству при произвольном

Теорема. Евклидово пространство является полным.

Доказательство. Пусть в пространстве задана фундаментальная последовательность векторов Это значит, что для любого числа найдется такой номер что при Отсюда и из (9.1) следует, что Поэтому при каждом

последовательность является фундаментальной и на основании полноты пространства сходящейся: существуют такие числа что Учитывая, что сходимость в является покоординатной сходимостью получаем, что последовательность сходится к вектору Теорема доказана.