§ 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

1. Определение комплексного линейного пространства.

В п. 2.2 было введено понятие линейного пространства как множества, в котором определены операции сложения и умножения на вещественные числа. Все данные там определения дословно переносятся на случай, когда вещественные числа заменены на комплексные. В этом случае линейное пространство называется комплексным. Дадим точное определение.

Определение. Множество называется комплексным линейным (или векторным) пространством, если:

а) для любых двух цементов х и у этого множества определена их сумма также являющаяся элементом множества

б) для любого комплексного числа а и любого элемента х определено произведение а, также являющееся элементом этого множества;

в) эти операции сложения и умножения на числа удовлетворяют условиям п. 2.2, где х, у, z - элементы множества комплексные числа.

В качестве примера комплексного линейного пространства можно привести комплексное -мерное координатное пространство Элементами его являются упорядоченные последовательности из комплексных чисел: где -комплексные числа. Если заданы другой элемент и комплексное число а, то по определению Легко проверяется выполнение всех аксиом линейного пространства).

В комплексном линейном пространстве понятия линейной зависимости, размерности пространства и другие, введенные в § 2, определяются вполне аналогично.