§ 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
1. Определение комплексного линейного пространства.
В п. 2.2 было введено понятие линейного пространства как множества, в котором определены операции сложения и умножения на вещественные числа. Все данные там определения дословно переносятся на случай, когда вещественные числа заменены на комплексные. В этом случае линейное пространство называется комплексным. Дадим точное определение.
Определение. Множество 
называется комплексным линейным (или векторным) пространством, если:
а) для любых двух 
цементов х и у этого множества определена их сумма 
также являющаяся элементом множества 
б) для любого комплексного числа а и любого элемента х определено произведение а, также являющееся элементом этого множества;
в) эти операции сложения и умножения на числа удовлетворяют условиям 
п. 2.2, где х, у, z - элементы множества 
комплексные числа.
В качестве примера комплексного линейного пространства можно привести комплексное 
-мерное координатное пространство 
Элементами его являются упорядоченные последовательности из 
комплексных чисел: 
где 
-комплексные числа. Если заданы другой элемент 
и комплексное число а, то по определению 
Легко проверяется выполнение всех аксиом линейного пространства).
В комплексном линейном пространстве понятия линейной зависимости, размерности пространства и другие, введенные в § 2, определяются вполне аналогично.
