§ 4. Пространство Lp

В этом параграфе мы будем считать заданными множество и вещественную меру определенную на -алгебре подмножеств этого множества.

1. Функции, суммируемые в степени р.

Обозначим через множество всех вещественных функций заданных на 5, измеримых по мере и таких, что функция суммируема по этой мере. Здесь некоторое вещественное число,

Будем обозначать

Теорема 1. Пусть вещественные числа, удовлетворяющие условию

Тогда если то суммируема и

(неравенство Гельдера).

Доказательство. Для любых двух неотрицательных чисел имеет место неравенство

Для доказательства этого неравенства рассмотрим кривую (рис. 1).

Рис. 1

Имеем

та же кривая задается уравнением Поэтому

Так как то мы получаем (1.4). Подставим в неравенство (1.4)

Получим

Отсюда следует суммируемость функции Проинтегрировав 1.5), получим (1.3). Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть Тогда и

неравенство Минковского).

Доказательство. При утверждения следуют из свойств нтеграла.

Рассмотрим случай Пусть и -вещественные числа, удовлетворяющие условиям:

Функция непрерывна и нигде на замкнутом множестве 1.7) не обращается в нуль. Поэтому существует константа такая, что

при всех удовлетворяющих условию (1.7). Подставим в неравенство (1.8)

Получим

Отсюда следует, что Далее, имеем

Так как

о

Из неравенства Гельдера получаем

Аналогично для второго слагаемого в (1.9). Интегрирование (1.9) приипгщт к неравенству

Отсюда следует неравенство

Теорема доказана.