2. Установление решения параболического уравнения.

Наш подход к исследованию разрешимости задачи (1.1), (1.2) состоит в том, что мы будем стараться получить искомое решение как предел при решения параболического уравнения

при граничных условиях (1.2) и подходящей начальной функции Поэтому предварительно мы исследуем условия установления при решения задачи (2.1), (1.2). Основной результат заключается в следующей лемме.

Лемма. Пусть решение задачи (2.1), (1.2) определено при всех ограничено и монотонно по при почти всех Тогда функция

является ограниченным обобщенным решением задачи (1.1),

Доказательство. В силу ограниченности и монотонности предел (2.2) существует почти всюду в области и является ограниченной функцией так что ограничена и, следовательно, принадлежит функция Остается показать (см. (1.10)), что

Функция как обобщенное решение задачи (2.1), (1.2) удовлетворяет интегральному тождеству

Положим:

Соотношение (2.3) переписывается в виде

Очевидно, так что оказывается обобщенным решением задачи (1.8), (1.2) при и согласно (1.9)

Так как ограниченно почти всюду в области

то эти равенства имеют место и в смысле сходимости в В силу непрерывности оператора из (2.5) следует (1.10) при Лемма доказана.

Таким образом, эта лемма позволяет иногда судить о разрешимости задачи (2.1), (1.2). Неудобство ее состоит в том, что она формулируется в терминах параболических уравнений. От этого, как увидим ниже, можно избавиться.