Главная > Анализ в классах разрывных функций и уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ

Пусть линейный ограниченный оператор, действующий в гильбертовом пространстве

Определение. Вектор не равный нулю, называется собственным вектором оператора если существует число X такое, что

Это число X называется собственным значением оператора

Мы рассмотрим собственные значения различных классов операторов.

1. Операторы в конечномерных пространствах.

Прежде чем изучать собственные значения операторов в конечномерных пространствах, мы рассмотрим этот вопрос для матриц. Пусть А — квадратная матрица порядка -мерный вектор, который мы будем изображать в виде столбца из элементов, так что следует понимать как произведение матриц. Вектор называется собственным вектором матрицы соответствующим собственному значению X, если имеет место равенство или

где I — единичная матрица. Но это равенство при непулевом векторе имеет место тогда и только тогда, когда

(см. п. 1.9.2, следствие 2).

Поэтому все собственные значения матрицы являются корнями уравнения (1.2), и обратно, все корпи уравнения (1.2) являются собственными значениями матрицы

Уравнение (1.2) есть уравнение степени относительно

Перейдем теперь к изучению собственных значений операторов в конечномерных пространствах.

Пусть X — конечномерное евклидово пространство, -оператор, действующий в Пусть, далее, — собственный вектор оператора А, соответствующий собственному значению X:

Выберем ортонормированный базис в пространстве Тогда

Подставляя в (1.3), получим

Далее, пусть

Подстановка в (1.5) дает

Откуда

Заметим, что из (1.6) следует

Таким образом, вектор есть собственный вектор матрицы соответствующий собственному значению

Обратно, если А есть собственное значение матрицы есть соответствующий собственный вектор, то является собственным значением оператора А, а вектор х, определяемый равенством (1.4), является соответствующим ему собственным вектором.

Таким образом, мы видим, что определение собственных значений и собственных векторов оператора А сводится к определению их для матрицы, элементы которой задаются равенствами (1.8).

1
Оглавление
email@scask.ru