§ 5. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ
Пусть 
линейный ограниченный оператор, действующий в гильбертовом пространстве 
Определение. Вектор 
не равный нулю, называется собственным вектором оператора 
если существует число X такое, что
Это число X называется собственным значением оператора 
Мы рассмотрим собственные значения различных классов операторов.
1. Операторы в конечномерных пространствах.
Прежде чем изучать собственные значения операторов в конечномерных пространствах, мы рассмотрим этот вопрос для матриц. Пусть А — квадратная матрица порядка 
-мерный вектор, который мы будем изображать в виде столбца из 
элементов, так что 
следует понимать как произведение матриц. Вектор 
называется собственным вектором матрицы 
соответствующим собственному значению X, если имеет место равенство 
или
где I — единичная матрица. Но это равенство при непулевом векторе имеет место тогда и только тогда, когда
(см. п. 1.9.2, следствие 2).
Поэтому все собственные значения матрицы 
являются корнями уравнения (1.2), и обратно, все корпи уравнения (1.2) являются собственными значениями матрицы 
Уравнение (1.2) есть уравнение 
степени относительно 
Перейдем теперь к изучению собственных значений операторов в конечномерных пространствах.
Пусть X — конечномерное евклидово пространство, 
-оператор, действующий в 
Пусть, далее, — собственный вектор оператора А, соответствующий собственному значению X:
Выберем ортонормированный базис в пространстве 
Тогда
Подставляя в (1.3), получим
Далее, пусть
Подстановка в (1.5) дает
Откуда
Заметим, что из (1.6) следует
Таким образом, вектор 
есть собственный вектор матрицы 
соответствующий собственному значению 
Обратно, если А есть собственное значение матрицы 
есть соответствующий собственный вектор, то 
является собственным значением оператора А, а вектор х, определяемый равенством (1.4), является соответствующим ему собственным вектором.
Таким образом, мы видим, что определение собственных значений и собственных векторов оператора А сводится к определению их для матрицы, элементы которой задаются равенствами (1.8).
