§ 5. УРАВНЕНИЯ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ ПРИ ПРОИЗВОДНЫХ

1. Общий подход.

Наличие малого параметра в системе уравнений часто позволяет упростить ее решение или исследование путем пренебрежения величинами порядка этого параметра. Конечно, при этом получается лишь приближенное решение. Если, например, система уравнений имеет вид

где регулярно зависит от в окрестности (т. е. является непрерывно дифференцируемой функцией в окрестности то при достаточно малых можно ограничиться приближенным уравнением

т. е. вместо решения системы (1.1) можно в качестве приближенного рассматривать решение системы (1.2). По теореме о непрерывной и гладкой зависимости решения от параметра равномерно по на любом конечном интервале из области определения имеет место оценка

Следует хорошо помнить, что соотношение (1.3) имеет место, вообще говоря, на конечном интервале изменения По этой причине требуют специального исследования системы уравнений вида:

когда малый положительный параметр стоит множителем при произ водной или (после деления (1.4) на ) правая часть системы не регулярно зависит от при

Конечно, формальной заменой переменной эта система сводится к системе

когда правая часть регулярно зависит от и на конечном интервале изменения можно воспользоваться соотношением (1.3). Однако при

этом приближенное решение исходной системы (1.4) — (1.5) получается лишь в интервале изменения имеющем длину порядка При никакого приближенного решения по существу не получается.

Будем считать, что каждое из уравнений (1.4), (1.5) представляет собой векторную запись системы уравнений относительно неизвестных

Основной вопрос, возникающий при исследовании системы (1.4), (1.5), сводится к следующему: когда и как можно воспользоваться малостью параметра для приближенного решения системы уравнений (1.4), (1.5).

Мы ограничимся формулировкой некоторых важных результатов в этой области с кратким пояснением основных идей и методов их получения.

Согласно (1.4), (1.5) скорость движения точки в фазовом пространстве распадается на два неравноправных вектора

из которых второй не зависит от а первый не ограничен при (если, конечно, ). Соответственно этому вектор х называют быстро меняющимся, а вектор у — медленно меняющимся. Основной подход к изучению системы (1.4), (1.5) заключается в том, что сперва изучается поведение быстро меняющихся переменных х при постоянных значениях медленных переменных у, т. е. рассматривается система уравнений

в которой у считается параметром. Мы будем предполагать, что при каждом у из некоторой области содержащей начальное значение решение системы (1.6) определено в интервале и при стремится к некоторому стационарному решению, являющемуся:

а) асимптотически устойчивой точкой равновесия системы (1.6);

б) изолированным устойчивым предельным циклом системы (1.6).

В таком случае обычно решение экспоненциально приближается к своему предельному значению и меньше, чем на отличается от уже при т. е. при Таким образом, можно считать, что время необходимое для того, чтобы решение достаточно приблизилось к стационарному решению стремится к нулю при Поэтому в качестве приближенного решения системы при следует рассматривать стационарное решение системы (1.6). Согласно (1.5) за время переменная у меняется незначительно, и в системе (1.5) переменную х можно заменить ее приближенным значением после чего решение системы (1.5) дает приближенное значение неременной у.

Таков общий подход к системе (1.4), (1.5). Все сказанное имеет строгое обоснование. Требуется лишь некоторая детализация, своя в каждом из случаев а) и б).