§ 5. СТРУКТУРА ФУНКЦИЙ, ПРИНАДЛЕЖАЩИХ ПРОСТРАНСТВУ BV

1. Существенная граница.

Пусть измеримое множество, принадлежащее пространству Введем следующие обозначения: — множество точек плотности множества -дополнение к множеству точек его разрежения.

Определение. Множество называется существенной границей множества

Таким образом, точка х принадлежит существенной границе множества тогда и только тогда, когда она не является ни точкой плотности, ни точкой разрежения этого множества.

Во многих случаях существенная граница совпадает с границей множества. Например, пусть шар Тогда сфера является границей множества и его существенной границей.

Однако не всегда граница и существенная граница множеств совпадают. Чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотреть множества, приведенные в примере 1 п. 4.1.

Приведем еще один пример. Пусть множество на плоскости состоящее из точек круга без точек, принадлежащих

жительной полуоси Границей множества является объединение точек окружности и радиуса Существенная граница не совпадает с границей, так как все точки указанного радиуса являются точками плотности множества и поэтому существенной границей этого множества является окружность

2. Нормаль.

Мы выделили точки плотности и точки разрежения множества т. е. такие точки, в которых имеют место равенства (4.1.1) и (4.1.2). Остальные точки образуют существенную границу Можно и на ней выделить точки по тому же принципу, применяя, однако, уже не шары, а полушары.

Введем следующие обозначения. Пусть а — единичный вектор в пространстве Через будем обозначать полушар

Первое из неравенств (2.1) описывает шар с центром в точке радиусом Второе указывает на то, что взяты только те точки А этого шара, для которых радиус проходящий через точку х, образует с вектором а острый угол.

Определение [65]. Пусть измеримое множество, принадлежащее пространству его существенная граница, Пусть для некоторого единичного вектора а имеют место равенства:

Тогда будем говорить, что в точке существует нормаль к При этом вектор а будем называть внутренней нормалью, а вектор — а внешней нормалью

Мы увидим в дальнейшем, что внутренняя (внешняя) нормаль в точке единственна (если она существует).

Рис. 2

Пример Пусть шар в пространстве Пусть, далее, точка сферы Непосредственно проверяется, что равенство (2.2) будет иметь место, если в качестве а единичный вектор, направленный по радиусу сферы из точки к центру

Таким образом, для сферы внутренняя нормаль направлена по радиусу к центру.

В случае, когда граница множества гладкая, нормаль может быть выражена аналитически по уравнению границы. Рассмотрим, например, случай, когда задается как множество точек удовлетворяющих неравенству

где заданная непрерывно дифференцируемая функция. Предположим, что во всех точках х, удовлетворяющих равенству

выполняется условие

где градиент функции Тогда граница множества описывается уравнением (2.4), и в каждой точке существует нормаль. Вектор а внутренней нормали в точке задается равенством

В приведенном выше примере

Так как понятие нормали является локальным, то достаточно, чтобы все условия (2.3) — (2.5) выполнялись в некоторой окрестности точки

Укажем связь между введенными здесь понятиями и точками скачка характеристической функции множества (см. п. 4.4).

Теорема. Для того чтобы точка принадлежала существенной границе множества и в этой точке существовала нормаль, необходимо и достаточно, чтобы эта точка была точкой скачка характеристической функции множества

Доказательство. Обозначим характеристическую функцию множества Покажем, что первое из равенств (2.2) эквивалентно существованию аппроксимативного предела и равенству

Действительно, согласно (4.4.1)

Поопределению аппроксимативного предела (см. и. 4.2, определение 2) равенство (2.8) означает, что является точкой — плотности множества Последнее в силу определения 2 п. 4.1 может быть записано в виде

Но это совпадает с первым из равенств (2.2), так как

Точно так же доказывается, что второе из равенств (2.2) эквивалентно существованию аппроксимативного предела и равенству

Таким образом, если точка принадлежит существенной границе 5 множества и в этой точке существует нормаль, то является точкой скачка функции

Обратно, пусть есть точка скачка функции Тогда в силу определения регулярной точки для некоторого вектора а существуют аппроксимативные пределы Кроме того, так как есть точка скачка, то эти пределы не равны между собой (см. п. 4.4, определение 2). Поэтому не является ни точкой плотности множества ни точкой разрежения, так что

Функция принимает два значения: 1 и 0. Легко показать, что числа могут быть только нулем или единицей. Поэтому (с точностью до знака) имеют место равенства (2.7) и (2.9). Следовательно, имеют место равенства (2.2), и вектор а является внутренней нормалью. Теорема доказана.

Из доказательства теоремы видно, что нормаль является определяющим вектором для функции (см. определение 1, п. 4.4). Поэтому внутренняя (или внешняя) нормаль единственна теорема).

3. Существование нормали.

Если открытое множество в с гладкой границей (2.4) и выполняется условие (2 5), то в каждой точке границы существует нормаль. Если граница кусочно-гладкая, т. е. состоит конечного числа гладких частей, то на множествах, где «стыкуются» эти гладкие части, нормаль может не существовать. Как правило, во всех тех вопросах математической физики, в которых используется нормаль, сама постановка вопроса может быть сформулирована так, что достаточно наличие нормали не в каждой точке границы, а почти всюду по -мерной мере. Поэтому для приложений

в математической физике важны такие множества, на границе (или, точнее, на существенной границе) которых почти всюду по -мер-ьой мере существует нормаль. Оказывается, что этим свойством обладают множества с конечным периметром.

Теорема [70, 12]. Пусть множество с конечным периметром, его существенная граница. Тогда почти всюду по -мерной мере на существует нормаль.

4. Простые функции.

При определении понятия интеграла (см. гл. II) мы уже встречались с простыми функциями (п. II.2.2). Именно рассматривались простые измеримые функции. Нас будут сейчас интересовать простые функции, принадлежащие пространству Мы изучим структуру этих функций.

Пусть простая функция:

где вещественные числа; -характеристические функции множеств Мы будем предполагать, что все множества ограничены и попарно не пересекаются. Если к множествам присоединить еще множество то вся совокупность множеств

образует разбиение пространства

При формулировке необходимого условия в следующей теореме мы будем считать, что все числа входящие в равенство (4.1), различны. 3 остальном в этой теореме и в дальнейшем их можно считать произвольными вещественными числами.

Теорема 1. Для того чтобы функция заданная равенством 4.1), принадлежала пространству необходимо и достаточно, чтобы тожества (4.2) имели конечный периметр.

Доказательство. Необходимость. Пусть Тогда мы можем воспользоваться равенством (3.4.2), в котором интеграл имеет конечное значение. Но это возможно только в том случае, когда все множества (4.2) имеют конечный периметр (конечность периметра множества является следствием того, что остальные множества имеют коечный периметр).

Достаточность. Если все множества (4.2) имеют конечный периметр, то принадлежат пространству Ввиду инейности этого пространства к нему принадлежит и функция Теорема доказана.

В дальнейшем мы будем предполагать, что множества (4.2) имеют онечный периметр.

Изучим свойство разбиения пространства заданного равенством 4.3). Рассмотрим сначала простой пример Пусть На плоскости проведем конечное число прямых, параллельных осям координат. Обозначим все полученные при этом ограниченные прямоугольники через а всю оставшуюся часть плоскости через Полученное так разбиение плоскости обладает следующими свойствами. Если считать вершин прямоугольников (множество одномерной меры то каждая точка плоскости либо является внутренней точкой цного из множеств либо принадлежит линии, разделяющей какие-нибудь два из этих множеств, например

В последнем случае из каждой такой точки можно провести внутренние нормали к границам множеств - векторы, параллельные между собой и противоположно направленные.

Оказывается, что таким же свойством обладает разбиение (4.3) в общем случае произвольных множеств с конечным периметром. При этом только роль внутренних точек играют точки плотности множеств. Множество точек плотности множества мы, как и выше, будем обозначать через Имеет место следующая теорема [12].

Теорема 2 (о структуре разбиения). Пусть задано разбиение (4.3) пространства множествами с конечным периметром. Тогда имеет место равенство

где принадлежит общей части существенных границ множеств Множества, входящие в правую часть равенства (4.4), попарно не пересекаются. В каждой точке (если это множество не пусто) существуют внутренние нормали к существенным границам множеств причем

Теорема 3 (о структуре простых функций). Пусть простая функция, принадлежащая пространству и заданная равенством (4.1). Тогда все точки пространства за исключением, быть может, точек множества -мерной меры нуль, являются регулярными точками этой функции. Точки множества являются точками аппроксимативной непрерывности, а точки множеств (см. при точками скачка функции причем скачок функции в этих точках равен

Доказательство. Воспользуемся разложением (4.4). Пусть Тогда непосредственно из определения аппроксимативного предела следует, что

Ясно, что точка является точкой разрежения дополнения до множества а поэтому и всех множеств Следовательно,

Поэтому существует аппроксимативный предел

Таким образом, точки множества являются точками аппроксимативной непрерывности функции

Рассмотрим теперь точку принадлежащую множеству Пусть (см. формулировку теоремы 2). Тогда согласно равенствам (2.7) и (2.9) имеем:

Обозначим Очевидно, есть характеристическая функция множества Из (4.8) и (4.9)

На основании теорем 5 и 6 п. 4.3 из (4.10) следует, что существует аппроксимативный предел

Это значит, что есть точка плотности множества и поэтому является точкой разрежения множеств так что

Пользуясь равенствами (4.8), из (4.1) получаем, что существуют аппроксимативные пределы и имеют место равенства

Таким образом, точка есть точка скачка функции причем скачок равен

Мы показали, что все точки пространства за исключением точек множества (см. (4.4)), являются регулярными точками функции Так как то все утверждения теоремы доказаны.