6. О разрешимости и единственности решения граничных задач.
В п. 1.2 мы говорили о том, что эллиптические уравнения имеют бесконечное множество решений. Чтобы выделить из этого множества то решение, которое соответствует физической постановке задачи, мы ввели граничные условия. Возникает вопрос, достаточно ли введенных граничных условий, чтобы решение было единственным.
Обратимся к примеру. Рассмотрим третью краевую задачу для уравнения Лапласа: найти решение уравнения
в области 
при граничных условиях
на границе 5 области 
Здесь 
производная по направлению внешней нормали к границе 5.
Функционал 
в рассматриваемом случае имеет вид
а функционал 
(см. 
) задается равенством
Обобщенная постановка задачи имеет вид
при
Однородная задача 
превращается в задачу определения функции и 
такой, что
при
Положим в 
Тогда получим
Считая, что выполняется условие
мы заключаем из (6.3), что имеют место два равенства:
Из (6.9) следует, что
почти всюду в 
Мы будем предполагать, что область 
связная. Тогда (6.11) возможно лишь в том случае, когда
где С — некоторая константа. Подставив эту константу в (6.10), получим
Рассмотрим сначала тот случай, когда
на множестве положительной меры Хаусдорфа на 5. Тогда из (6.8) и (6.13) мы сделаем вывод, что 
Итак, мы получили следующий результат: если выполняется условие (6.14), то однородная задача (6.1), (6.2) имеет только нулевое решение. Совершенно другой результат мы получим, если предположим, что
В этом случае задача (6.1), (6.2) превращается в задачу Неймана. Теперь из (6.13) уже нельзя сделать вывод, что 
Более того, этот вывод был бы неправильным, так как ясно, что любая константа является решением задачи (6.1), (6.2) (при 
Мы получили следующий результат: решением однородной задачи Неймана является произвольная константа, и других решений эта задача не имеет.
Мы видим, таким образом, что решение задачи Неймана не единственно. Соответствует ли это физике явлений? Мы покажем сейчас, что это действительно так. Между первым (6.14) и вторым (6.15) из рассмотренных случаев имеется качественное различие. Если мы будем трактовать задачу (6.1), (6.2) как задачу о стационарном распределении температуры в теле, то в случае (6.14) имеет место теплообмен с окружающей средой, и в теле устанавливается температура, равная температуре окружающей среды (которую мы приняли равной нулю). В случае (6.15) тело теплоизолировано, теплообмен с окружающей средой отсутствует. Поэтому в теле также устанавливается некоторая стационарная температура, однако ее значение зависит от запаса тепла, имеющегося в теле и никак не описанного в постановке задачи. Вот почему в этом случае нет единственности решения.
Таким образом, мы видим, что решение граничных задач не обязательно должно быть единственным, и это вполне оправданно сточки зрения их физического смысла.
Перейдем к вопросу о разрешимости задачи (6.1), (6.2). В следующем пункте из общей теоремы будет, в частности, следовать, что эта задача в случае (6.14) разрешима при любой правой части 
(суммируемой в квадрате). Это ясно также и из физических соображений при такой трактовке, какая давалась выше. Действительно, так как имеет место теплообмен с окружающей средой, то при заданной температуре последней в теле устанавливается вполне определенное стационарное распределение температуры. Совершенно иначе обстоит дело в случае (6.15). Если мы рассмотрим интеграл
то его физический смысл состоит в том, что он выражает поток тепла через поверхность. Ясно, что стационарное распределение температуры может устанавливаться в теле только тогда, когда этот поток равен нулю, т. е. количество тепла, приходящего в тело через поверхность, равно количеству тепла, отдаваемому телом. Таким образом, рассматриваемая задача разрешима не при любой правой части. Необходимым условием ее разрешимости является равенство пулю интеграла (6.16). К этому результату можно прийти и не прибегая к физической трактовке. Для этого достаточно в (6.5) подставить 
Обратим внимание на следующее обстоятельство. В том случае, когда однородная задача имела только нулевое решение, неоднородная оказалась разрешимой при любой правой части. В случае же, когда не было единственности решения, не имела места и разрешимость при любой правой части. Эти факты не случайны. Они следуют из тех общих закономерностей, которые будут доказаны ниже в виде теорем Фредгольма. К рассмотренному примеру мы вернемся после того, как изучим эти теоремы.
