§ 6. ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

1. Введение.

Классическое дифференциальное исчисление строится для непрерывных и дифференцируемых функций. Мы поставим вопрос о том, можно ли перенести аппарат дифференциального исчисления более широкий класс функций так, чтобы охватить и разрывные функции. Ясно, что тогда можно говорить только об обобщенных производных. Рассмотрим, например, следующую формулу дифференцирования степени:

известную для гладких функций

Предположим, что функция разрывна. Верна ли эта формула? Прежде всего, мы должны придать смысл произведению, стоящему в правой части. Так как является мерой, то нам нужно определить умножение функции на меру. Мы сделаем это в общем случае.

Определение. Пусть задана мера определенная на борелевских множествах Пусть, далее, задана функция суммируемая по мере Тогда произведением функции на меру называется мера заданная на любом борелевской множестве равенством

Такое определение произведения функции на меру вполне согласуется с обычным умножением функций. Действительно, будем ставить в соответствие каждой суммируемой функции меру — неопределенный интеграл этой функции:

При так определенной мере равенство (1.2) примет вид

в полном соответствии с обычным умножением функций.

Вернемся к равенству (1.1). В силу данного выше определения умножения функции на меру в правой части этого равенства стоит мера, в левой части — обобщенная производная, которая также может трактоваться как мера. В этом смысле равенство (1.1) не содержит никаких противоречий. Однако в действительности оно неверно. Чтобы это показать, возьмем в качестве характеристическую функцию какого-нибудь множества, так что для положительных По формуле (1.1)

и поэтому и Вычитая два таких равенства при различных получим что, очевидно, неверно.

Это противоречие вовсе не означает, что нельзя получить формулы, обобщающие обычные формулы дифференцирования на разрывные функции. В дальнейшем мы такое обобщение укажем. Однако для этого нам понадобится ввести понятие усредненной суперпозиции