2. След функции на границе.

Пусть измеримое множество, — его существенная граница. Мы введем здесь понятие внутреннего и внешнего следа функции на существенной границе. Это понятие будет использовано в формуле Грина и в дальнейшем при постановке граничных задач.

Пусть точка существенной границы 5 и пусть в окрестности точки задана измеримая функция

Определение. Внутренний след функции в точке есть аппроксимативный предел функции при по множеству Е:

Внешний след функции в точке есть аппроксимативный предел функции при по дополнению множества Е:

Вполне аналогично тому, как в доказывались теоремы о пределах, можно доказать следующее утверждение. Если в точке существует внутренняя нормаль к множеству то след существует тогда и только тогда, когда существует аппроксимативный предел причем имеет место равенство

Для внешнего следа имеют место аналогичное утверждение и равенство

Здесь обозначают то же, что в -аппроксимативные пределы по полупространствам, в рассматриваемом случае — по полупространствам, определяемым нормалью.

Теорема 1. Пусть -функция, заданная и локально суммируемая в окрестности точки принадлежащей существенной границе множества Пусть, далее, существует внутренняя нормаль к в точке Тогда если существует внутренний след то существует среднее значение их функции где характеристическая функция множества и имеет место равенство

Если, кроме того, существует внешний след то существует среднее значение и

Доказательство. Введем функцию Пусть существует Тогда, как указывалось выше, существует аппроксимативный предел и имеет место равенство (2.3). Кроме того, справедливо равенство (см. равенство (IV.5.2.7)). Пользуясь теоремой об аппроксимативном пределе произведения, мы заключаем, что существует аппроксимативный предел и имеет место равенство

Далее, равенства пользуясь определением аппроксимативного предела, легко получить

Таким образом, является регулярной точкой функции Поэтому существует среднее значение причем

на основании равенств (2.7) и (2.8).

Если существует также внешний след то в силу равенств (2.3) и (2.4) мы получаем (2.6), так как

Теорема доказана.

Следующая теорема является основной во всем дальнейшем использовании понятия следа функции.

Теорема 2. Пусть множество с конечным периметром, его существенная граница. Пусть, далее, -функция, заданная в и принадлежащая пространству Тогда почти всюду по -мерной мере на существуют внутренний и внешний следы функции и.

Доказательство. Пусть характеристическая функция множества Рассмотрим вектор-функцию Ясно, что Поэтому согласно теореме все точки множества за исключением, быть может, точек некоторого множества -мерной меры нуль, являются регулярными точками вектор-функции В любой такой регулярной точке имеется определяющий вектор а для вектор-функции Точка является регулярной для функций причем вектор а является определяющим для обеих функций. Это следует из определения регулярной точки вектор-функции (см.

Точка принадлежит существенной границе множества и поэтому не может быть точкой аппроксимативной непрерывности функции Следовательно, есть точка скачка функции Отсюда следует согласно результатам что определяющий вектор а функции является нормалью к 5 в точке Будем для определенности считать а внутренней нормалью.

Так как вектор а является определяющим также и для функции то существуют аппроксимативные пределы Но а есть нормаль, и поэтому являются внутренним и внешним следами функции в точке Теорема доказана.