5. Полный скачок.

Для функций комплексной переменной полный скачок удобно определить, опираясь на определение скачка, данное в п. 1. Именно, если есть скачок функции определенный равенством (1.3), то полным скачком называется число

где — множество точек скачка функции При этом мы предполагаем, что функция локально принадлежит пространству и что интеграл (5.1) существует. Заметим, что этот интеграл заведомо существует, если Кроме того, функция суммируема по одномерной мере Хаусдорфа на множестве где К — произвольный шар.

Введем понятие вычета функции на бесконечности. Этот вычет будет обозначаться и по определению

где — среднее значение (1.4), -окружность

Теорема. Если разрывная аналитическая функция и существует интеграл (5.1), то существует также предел (5.2) и имеет место равенство

т. е. полный скачок разрывной аналитической функции равен ее вычету на бесконечности.

Доказательство. Рассмотрим круг По формуле

Грина (2.8) мы можем записать

С другой стороны, имеем

Поэтому в силу определения разрывной аналитической функции и формулы (1.5.1)

Сравнивая (5.4) и (5.5) и переходя к пределу при получим, что полный скачок равен пределу правой части равенства (5.4).

Аналогично, взяв в качестве шар получим, что полный скачок равен пределу при интеграла

где — внешний след. Беря полусумму полученных пределов и учитывая равенство (1.4), заключаем, что имеет место равенство (5.3). Теорема доказана.

Следствие. Если разрывная аналитическая функция удовлетворяет условию

при то полный скачок этой функции равен нулю.

показательство следует из того, что при выполнении условия