§ 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ
Существуют различные методы исследования граничных задач. Наиболее простым, по-видимому, является метод, основанный на применении функционального анализа. Именно он и будет здесь использован. При этом будет обобщена постановка граничной задачи. Несмотря на большую общность (или, возможно, благодаря ей), граничная задача в новой постановке допускает более простое исследование.
1. Понятие об обобщенной постановке граничной задачи.
Оставаясь пока в рамках гладких функций, покажем, как можно перейти от постановки граничной задачи, указанной в предыдущем параграфе, к новой постановке. В этом пункте мы сохраним стиль изложения предыдущего параграфа — описательный. Точная постановка задачи с указанием класса функций будет дана в следующем пункте.
Пусть 
-решение задачи А, сформулированной в п. 1.2, а 
-произвольная гладкая функция, заданная в области 
и удовлетворяющая условию
Применим формулу Грина (1.3.1) к этим функциям. Получим следующее равенство:
где введены обозначения 
предельные значения функций 
и на границе 
Правая часть равенства (1.2) есть известный линейный функционал от 
Известный в том смысле, что он не содержит функцию и, которую требуется найти в результате решения задачи. Левая часть равенства (1.2) есть также линейный функционал относительно 
Однако, в отличие от правой части, он содержит неизвестную функцию и. Новая постановка задачи состоит в том, чтобы найти такую функцию и, для которой оба эти функционала совпадут. Точнее, требуется найти функцию 
удовлетворяющую граничному условию (1.2.9):
такую, что имеет место равенство (1.2) для всех функций 
равных нулю на 
Мы видели, что если функция 
является решением задачи А в старой постановке, то она же является решением этой задачи и в новой постановке. Можно показать, что имеет место и обратное. Действительно, пусть 
есть решение граничной задачи в новой постановке, причем и — достаточно гладкая функция (только этот случай мы пока и рассматриваем). Тогда, пользуясь формулой Грина (1.3.1), после простых преобразований получим
Учитывая, что 
произвольная гладкая функция, удовлетворяющая условию (1.1), из (1.6) нетрудно получить, что выражения,
стоящие в квадратных скобках, обращаются в нуль. А это с учетом равенства (1.5) и значит, что и есть решение задачи А в старой постановке.
