2. Дифференциальные неравенства.

Начиная с этого пункта, мы будем вести все изложение для самосопряженных дифференциальных операторов, т. е. операторов

Многие результаты, которые здесь будут получены, верны и для операторов общего вида, определенных равенством (1.1.6).

Мы будем здесь рассматривать дифференциальные неравенства вида:

где граничный оператор (1.2.3):

обозначает то же, что и выше (см. п. 2.2).

Классическая постановка задачи о решении дифференциальных неравенств состоит в нахождении гладкой функции удовлетворяющей неравенству (2.2) в каждой точке множества и неравенствам (2.3) в каждой точке границы При этом, чтобы неравенство (2.2) имело смысл, нужно предполагать, что коэффициенты дифференцируемы.

Ясно, что решение дифференциальных неравенств (2.2), (2.3) не единственно. Действительно, мы можем рассмотреть граничную задачу, сформулированную в п. 1.2, в предположении, что правые части неотрицательные функции. Задавая различные функции такого рода, мы будем получать различные решения неравенств (2.2), (2.3).

Будем ставить перед собой задачу исследования общих свойств решений неравенств (2.2), (2.3), а не нахождения какого-нибудь конкретного решения. Основной вопрос, который будет стоять перед на-ми, — вопрос неотрицательности или даже строгой положительности всех решений рассматриваемых неравенств.

Однако прежде чем приступать к исследованию этого вопроса, мы обобщим само понятие решения неравенств (2.2), (2.3) на функции и, принадлежащие пространству так же как в обобщалось понятие решения граничных задач. При этом мы сохраним те требования, которые налагались на множество и коэффициенты Эти требования указаны в п. 2.2.

Определение. Функция называется обобщенным решением неравенств (2.2), (2.3), если

почти всюду на -мерной мере), и для любой неотрицательной функции имеет место неравенство

где -функционал, определенный равенством (2.1.3). В рассматриваемом случае этот функционал имеет вид

Легко видеть, что каждая гладкая функция удовлетворяющая неравенствам (2.2), (2.3), удовлетворяет также неравенствам (2.5), (2.6) (в предположении дифференцируемости коэффициентов Это следует из формулы Грина (1.3.1).

Теорема 1. Пусть положительно-определенный в пространстве функционал (см. п. 2.8). Тогда каждое обобщенное решение неравенств (2.2), (2.3) неотрицательно:

почти всюду в

Доказательство. Пусть обобщенное решение неравенств (2.2), (2.3), - функция, определенная равенством (1.1). Из неравенства (2.5) получаем, что след функции на равен нулю (почти всюду по -мерной мере). Кроме того, принадлежит пространству теорему предыдущего пункта). Следовательно, функция и может быть подставлена в (2.6) в качестве функции Получим

С другой стороны, из равенства (1.2) и положительной определенности функционала получаем

Из (2.9) и (2.10) следует

Ввиду положительной определенности функционала получаем отсюда, что почти всюду в Поэтому из почти всюду в Теорема доказана.

Пользуясь критерием положительной определенности функционала в пространстве установленным в п. 3. 6, мы можем сформулировать условие положительности решения неравенств (2.2), (2.3) также в терминах собственных значений соответствующей граничной задачи

(точнее о постановке задачи (2.12) и понятии ее обобщенного решения см. п. 3.1).

Теорема 2. Все обобщенные решения неравенства (2.2), (2.3) неотрицательны тогда и только тогда, когда первое собственное значение задачи (2.12) положительно.

Доказательство. Пусть первое собственное значение положительно. Тогда, как показано в п. 3.6, функционал (2.7) положительно определенный и на основании теоремы 1 все решения неравенств (2.2), (2.3) неотрицательны.

Пусть первое собственное значение задачи (2.12) неположительно. Ниже будет показано, что существует отрицательная первая собственная функция задачи (2.12). Так как для этой функции то она является отрицательным решением неравенств (2.2), (2.3). Теорема доказана.

Пример Рассмотрим граничную задачу

Физическим примером ее является задача о стационарном распределении температуры в теле, на границе которого поддерживается нулевая температура, а внутри задан источник тепла, линейно зависящий от температуры.

Предположим, что положительные константы. Рассмотрим вопрос о положительности решения задачи (2.13). Пусть X— первое собственное значение задачи:

Рассмотрим два случая.

1. . В этом случае решение задачи (2.13) неотрицательно.

Действительно, первое собственное значение задачи (2.12), если ее записать в соответствии с рассматриваемым примером, равно X — а. Оно положительно, и мы можем применить теорему 2.

2. . В этом случае задача (2.13) не может иметь неотрицательного решения.

Действительно, предположим противное: решение задачи (2.13) неотрицательно. Мы имеем, очевидно, следующее равенство:

Поэтому по третьей теореме Фредгольма

где первая собственная функция задачи (2.14). Так как можно взять неотрицательным (см. п. 6.5), то равенство (2.15) невозможно. Это противоречие доказывает утверждение.

Замечание. В случае, когда оператор не является самосопряженным, основные результаты этого пункта остаются справедливыми. Теорема 1 переносится без изменения. В теореме 2 на несамосопряженный случай переносится только достаточное условие, причем должны рассматриваться собственные значения симметризованной задачи. Теорема следующего пункта вместе с ее доказательством полностью переносится на несамосопряженный случай.