Главная > Анализ в классах разрывных функций и уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2 Примеры линейных функционалов.

1. Пусть евклидово пространство, Определим функционал равенством

Из свойств скалярного произведения и неравенства Коши-Буняковского

Следует, что есть линейный функционал.

Покажем, что

действительно, из (2.2) имеем

С другой стороны, так как то

равнивая с (2.4), получим равенство (2.3).

2. Пусть некоторое борелевское множество в нормированном пространстве В и задана борелевская мера Тогда определено пространство функций х, заданных на 5 и суммируемых со степенью При определим число равенством

Покажем, что если то

есть линейный функционал, определенный на пространстве Действительно, как показано в п. II.4.1, функция суммируема по мере и имеет место оценка

Аддитивность и однородность функционала следуют из свойства интеграла.

Из (2.6) получаем

Можно показать (см., например [17]), что в действительности (2.7) имеет место знак равенства

Задавая в (2.5) различные функции мы будем получать различные функционалы. Оказывается, что таким образом могут быть получены все линейные функционалы, т. е. для любого линейного функционала определенного на пространстве существует функция такая, что имеет место равенство (2.5) (см., например, [17]).

3. Пусть открытое множество в пространстве пространство ограниченных и непрерывных функций заданных в с нормой

Пусть некоторая фиксированная точка множества Введем функционал

т. е. функционал ставит в соответствие каждой функции ее значение в точке Аддитивность и однородность этого функционала очевидны. Далее,

так что есть линейный функционал, причем Покажем, что

для чего достаточно доказать, что Имеем для

Введенный здесь линейный функционал называется дельта-функций, сосредоточенной в точке

1
Оглавление
email@scask.ru