2. Комплексные евклидовы и нормированные пространства.

Дадим определение комплексного евклидова пространства, вполне аналогичное тому, которое было дано в вещественном случае в п. 3.1. При этом черта наверху будет обозначать переход к комплексно-сопряженным величинам.

Определение. Комплексным евклидовым пространством называется комплексное линейное пространство, в котором каждой паре векторов х и у поставлено в соответствие комплексное число так, что выполняются следующие условия (аксиомы)

1) есть вещественное неотрицательное число, причем лишь при

Число называется скалярным произведением.

Обратим внимание на то, что в отличие от вещественного случая перестановка элементов в скалярном произведении изменяет его (на комплексно-сопрякенное, аксиома 2)). Отсюда и из аксиомы 3) следует, что

В качестве примера рассмотрим пространство Оно становится евклидовым, если скалярное произведение ввести следующим образом:

Все аксиомы скалярного произведения выполняются.

Норма в комплексном евклидовом пространстве определяется, как в вещественном случае: Очевидно, , где а — модуль комплексного числа а. Действительно,

Неравенство Коши-Буняковского имеет вид

где слева стоит модуль скалярного произведения. Доказательство проводится аналогично тому, как это сделано в п. 3.4. Неравенство треугольника (3.5.1) доказывается точно так же, как в вещественном случае.

Нормированные комплексные пространства определяются, как и в вещественном случае но только в аксиоме 2) стоит модуль комплексного числа а. На случай комплексных нормированных пространств переносятся понятия сходимости, открытых и замкнутых множеств и другие.