§ 1.09. Прямоугольные системы координат

За основную координатную плоскость берется плоскость эклиптики или экватора, основная ось отсчета ОХ направлена из начала О координат в точку весеннего равноденствия Т, ось OY - под углом 90° к оси ОХ, ось OZ дополняет систему до правой (рис. 17).

1. Связь между экваториальной и эклиптической прямоугольными системами координат. Если основная плоскость OXY — плоскость экватора, а начало О выбрано в центре небесной сферы, то прямоугольная система координат OXYZ называется экваториальной.

Экваториальные сферические координаты любой точки Р связаны с экваториальными прямоугольными координатами этой же точки соотношениями

Рис. 17. Связь между экваториальной в эклиптической системами прямоугольных координат.

Если основная плоскость эклиптической системы сферических координат — плоскость эклиптики — совпадает с плоскостью OXY прямоугольной системы координат начало которой, как и прежде, лежит в центре небесной сферы, а ось ОХ направлена в точку весеннего равноденствия Ф, то система координат называется эклиптической (рис. 17).

Эклиптические сферические координаты точки Р выражаются через эклиптические прямоугольные координаты этой же точки посредством формул

Переход от прямоугольных экваториальных координат точки Р к эклиптическим прямоугольным координатам этой же точки выполняется по следующим формулам преобразования

экваториальных прямоугольных координат в эклиптические:

Формулы обратного преобразования имеют вид

Формулы перехода от сферических эклиптических координат к прямоугольным экваториальным координатам (с тем же началом) записываются в виде

Формулы перехода от сферических экваториальных координат к прямоугольным эклиптическим имеют вид

2. Связь между гелиоцентрической и геоцентрической системами координат. Если начало одной системы координат не совпадает с началом другой, то для преобразования координат, кроме возможных поворотов осей координат, необходим еще и параллельный перенос осей координат в новое начало отсчета (рис. 18).

Если — координаты точки Р в гелиоцентрической прямоугольной экваториальной системе координат — координаты Солнца в геоцентрической экваториальной прямоугольной системе координат то прямоугольные координаты точки Р в системе определяются формулами

Если ввести геоцентрические экваториальные сферические координаты точки Р (геоцентрическое расстояние обозначается иногда символом А), то будем иметь

Замечание. Очевидно, гелиоцентрические прямоугольные экваториальные координаты Земли равны геоцентрическим прямоугольным экваториальным координатам Солнца, взятым с обратными знаками, т. е.

Рис. 18. Переход от гелиоцентрической системы координат к геоцентрической системе координат.

Для перехода от гелиоцентрических эклиптических сферических координат к геоцентрическим эклиптическим сферическим координатам можно применить формулы

где — геоцентрические эклиптические координаты (радиус-вектор, долгота и широта) Солнца.

Нередко широтой Солнца можно пренебречь и положить Тогда формулы (1.1.035) принимают вид

Преобразование гелиоцентрических эклиптических сферических координат точки Р в геоцентрические экваториальные сферические координаты осуществляется по формулам

Если вместо прямоугольных экваториальных координат Солнца заданы его эклиптические координаты то геоцентрические экваториальные координаты небесного объекта вычисляют по таким формулам:

Наклон эклиптики, к экватору должен быть отнесен к системе координат той же эпохи, что и величины

3. Относительные координаты. В экваториальной геоцентрической системе координат находят применение также две другие координаты (рис. 19):

1) Угловое расстояние объекта относительно опорного объекта измеряемое дугой большого круга на небесной сфере;

2) Позиционный угол, или угол положения отсчитываемый от круга склонений опорного объекта до дуги против часовой стрелки, если смотреть на небесную сферу снаружи.

Координаты называются относительными координатами, их можно выразить через экваториальные координаты опорного объекта и объекта 2 следующими формулами (см. треугольник на рис. 19):

На практике часто можно пренебречь величинами поиядка и применять приближенные формулы

4. Дифференциальные координаты. Положение объекта относительно объекта в экваториальной системе координат определяется разностями и эти разности выражаются через относительные координаты при помощи равенств (1.1.040)

Рис. 19. Относительные сферические координаты.

Рис. 20. Относительные прямоугольные координаты.

Разности называются дифференциальными экваториальными координатами.

Величины определяемые равенствами (рис. 20)

называются прямоугольными координатами объекта относительно объекта

Разности прямых восхождений и склонений можно выразить через разности эклиптических долгот и широт (дифференциальные эклиптические координаты) и, наоборот,

при помощи слбдующих формул:

Вспомогательный угол вычисляется по формулам

причем

5. Дифференциальные изменения координат. Малые изменения координат объекта на небесной сфере с достаточной степенью точности могут быть выражены дифференциальными формулами, которые выводятся из основных соотношений, связывающих сферические координаты с положением объекта в пространстве. Формулы (1.1.027) дают

Заменой на и на получим формулы дифференциальных изменений координат в эклиптической системе:

6. Основная операция. Если в прямоугольной экваториальной системе координат (ось направлена в точку весеннего равноденствия Т) объект из положения, определяемого радиусом-вектором сместился на и занял положение 2, определяемое радиусом-вектором , то (рис. 21)

Здесь

или

Соотношения (1.1.051) для приращений , обусловленных малым перемещением объекта на определяют основную операцию [60].

Если

где — вектор скорости объекта то при основная операция (1.1.051) дает

где матрица — оператор основной операции

Основную операцию можно выполнить и в других системах координат при помощи соответствующей оператор-матрицы К (например, ).

7. Преобразование координат при помощи матриц [61]. Применение прямоугольных координат в сочетании с матрицами-операторами поворота определяемыми равенствами

где — произвольный угол поворота, позволяет выразить формулы преобразования координат, приведенные выше, в компактном, удобном для машинных вычислений виде. Так, с учетом соотношений (1.1.027) и (1.1.028) формулы (1.1.023) и (1.1.029) связи экваториальных и эклиптических координат записываются в виде

Рис. 21. Связь между приращениями радиуса-вектора объекта и приращениями сферических координат.

Обратное преобразование имеет вид

Если означает радиус-вектор небесного объекта, координаты которого заданы в первой экваториальной системе

то переход ко второй экваториальной системе можно выполнить по формуле

где означает местное звездное время, связанное с прямым восхождением а и часовым углом небесного объекта соотношением (1.1.022),

Сохраняя прежний принцип отсчета азимута А от точки юга к западу от 0° до 360°, получим формулы (1.1.021а), связывающие горизонтальные координаты объекта с его экваториальными координатами в следующем виде:

Обращаясь к формулам (1.1.022а), получаем соотношения между горизонтальными координатами объекта и его координатами, отнесенными ко второй экваториальной системе:

При отсчете азимутов А от точки севера к востоку от 0° до 360° соответствующие горизонтальные координаты объекта связаны с его координатами соотношениями

Аналогичным образом можно выразить в матрично-векторной форме и соотношения (1.1.035), (1.1.037), (1.1.038). Например, формула (1.1.037) принимает вид