§ 3.12. Устойчивость лагранжевых равновесных решений задачи трех тел

Лагранжевы решения неограниченной задачи трех тел неустойчивы в смысле определения 1 (§ 3.01). Действительно, если рассматривать некоторое частное решение неограниченной задачи трех тел, определенное начальными условиями, близкими к лагранжевым, то для этих начальных данных центр масс системы будет двигаться в неподвижной системе координат со скоростью, отличной от скорости, определенной лагранжевыми начальными данными. А это приводит к тому, что по истечении некоторого конечного промежутка времени точки, изображающие возмущенное движение, будут находиться на достаточно большом расстоянии от точек, изображающих лагранжево движение в абсолютной системе координат.

В связи с этим Раус [81] ставит и решает в первом приближении вопрос об устойчивости постоянной треугольной конфигурации, образованной тремя телами. Другими словами, решается задача об орбитальной устойчивости периодического лагранжева решения.

Позднее Ляпунов доказал более общий результат [64,1, что если масса одной из точек достаточно велика по сравнению с массами двух других тел, то треугольник Лагранжа в задаче трех тел устойчив в первом приближении при условии, что эксцентриситеты орбит меньше единицы.

Когда эксцентриситеты орбит близки к нулю, лагранжев треугольник устойчив в первом приближении, если массы трех тел удовлетворяют условию

Замечание. Устойчивость в первом приближении лагран жева треугольника в ограниченной круговой задаче трех тел имеет место при выполнении условия

получающегося из (10.3.36) при Условие (10.3.37) в точности совпадает с условиями (5.2.41) и (5.2.42).

Существенно, что при выполнении условия (10.3.37) можно говорить не только об устойчивости конфигурации, образованной тремя телами, одно из которых имеет нулевую массу, но и об устойчивости треугольных лагранжевых решений в первом приближении в смысле саределения 1 (§ 3.01).

Усилия многих исследователей были направлены на то, чтобы исследовать устойчивость треугольных лагранжевых решений ограниченной круговой задачи трех тел не только в первом

приближении. Однако до появления работы Арнольда [80] все попытки оказались тщетными. Так как уравнения ограниченной задачи гамильтоновы, то отсюда следует [41], что в первом приближении устойчивость имеет место только в том случае, когда все собственные значения матрицы линейного приближения [59] имеют нулевые вещественные части [41] (см. ч. V, § 2.05). Это - особый случай в теории устойчивости (по терминологии Ляпунова), так как учет малых членов высшего порядка может существенно изменить поведение решений в окрестности лагранжевых решений.

А. М. Леонтович, опираясь на общие теоремы Арнольда (см. § 3.11), доказал, что для всех значений масс удовлетворяющих условию (10.3.37), кроме, быть может, множества лебеговой меры нуль, лагранжево треугольное решение ограниченной круговой задачи трех тел устойчиво [82].

Корни характеристического уравнения (5.2.40) выражаются равенствами

а условие (10.3.37) в обозначениях и — записывается в виде

Пользуясь формулами (10.3.38) — (10.3.40), результат Леонтовича можно сформулировать также следующим образом:

либрационные решения плоской ограниченной круговой задачи трех тел устойчивы в смысле Ляпунова, если (для любых целых чисел постоянные коэффициенты [82]).

Числа (или отношение ), удовлетворяющие про» тивоположному условию

образуют множество меры нуль. Таким значениям соответствует множество значений и меры нуль, удовлетворяющих неравенству (10.3.40).

Ю. Мозер показал, что условие для любых целых чисел может быть заменено менее жестким условием для значений удовлетворяющих неравенству

Таким образом, результаты Леонтовича и Мозера утверждают, что треугольные лагранжевы решения плоской

ограниченной круговой задачи трех тел устойчивы для всех значений удовлетворяющих неравенству (10.3.40), кроме, быть может, трех значений, подчиняющихся условиям

Существуют лишь три таких значения

Исследование устойчивости лагранжевых решений для этих значений у. выполнено в работах А. П. Маркеева [83], [84], [127].

Комбинируя метод преобразований Биркгофа гамильтоновой системы к нормальной форме [41] с теоремами Ляпунова о неустойчивости (см. § 3.05) и со способом Четаева (см. § 3.07), А. П. Маркеев доказал, что при значениях равных лагранжевы треугольные решения (точки либрации плоской ограниченной круговой задачи трех тел неустойчивы, а при эти решения устойчивы.

Работа [127] полностью исчерпала проблему устойчивости треугольных лагранжевых решений в плоской ограниченной круговой задаче трех тел. В [128] А. П. Маркеев исследовал устойчивость треугольных равновесных решений в пространственной ограниченной круговой задаче трех тел. Им доказано, что для большинства начальных условий (в смысле меры Лебега) при всех значениях удовлетворяющих условию (10.3.40), кроме двух значений, из совокупности (10.3.43), треугольные точки либрации устойчивы. При имеет место неустойчивость.

Отметим существенное отличие в поведении условно-периодических решений в окрестности В плоском случае любая точка из достаточно малой окрестности при всех значениях удовлетворяющих условию кроме двух порождает условно-периодическое решение. Другими словами, точки устойчивы в смысле Ляпунова. В пространственной задаче большинство точек (но не все) из достаточно малой окрестности точек либрации порождают условно-периодические решения. Неясно, имеют ли условно-периодический характер решения, порождаемые точками, принадлежащими множеству малой (в смысле Лебега) меры, поэтому говорить об устойчивости по Ляпунову (или о неустойчивости) треугольных точек либрации в пространственной ограниченной круговой задаче трех тел преждевременно.

Уравнения первого приближения (уравнения в вариациях) для исследования окрестности точек либрации и ограниченной эллиптической задачи трех тел составляют линейную систему с -периодическими (относительно истинной аномалии возмущающих тел) функциями, поэтому даже в первом приближении вопрос об их устойчивости представляется весьма сложным. Для близкого к единице эксцентриситета орбит возмущающих масс точки либрации неустойчивы в смысле Ляпунова [85]. Здесь же сформулирована теорема об устойчивости, которая оказывается верной лишь с точностью до первой степени эксцентриситета орбит возмущающих масс. Этот результат согласуется с результатами исследования Ляпунова [64]. В дальнейшем многие исследователи [86], [129], [130], [131] и др., пользуясь аналитическими или численными методами, строили области устойчивости и неустойчивости на плоскости параметров малая возмущающая масса, эксцентриситет ее орбиты) для линеаризованной системы уравнений (уравнений первого приближения). В нелинейной постановке при малых

П. Маркеевым [132] получены утверждения об устойчивости для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий, формальной устойчивости и неустойчивости по Ляпунову в зависимости от значений параметров и .