§ 2.07. Уравнения ограниченной круговой задачи в эллипсоидальных переменных

Если ввести вместо прямоугольных барицентрических координат точки Р (см. рис. 73) эллипсоидальные координаты по формулам

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Канонические уравнения:

Функция Гамильтона:

Интеграл энергии:

Поверхность Хилла дается соотношением

С - постоянная, определяемая начальными условиями.

В плоском случае кривая Хилла имеет уравнение

В эллиптических переменных кривая Хилла имеет более простой вид, чем в прямоугольных координатах (5.2.07). Уравнение (5.2.54) разрешимо в явном виде относительно или , так как оно представляет собой алгебраическое уравнение четвертой степени относительно этих переменных.

Приближенные области возможности движения на плоскости приведенные во многих книгах [2, 4], отображаются в заштрихованные области на рис. 74.

Рис. 74. Области возможности движения (заштрихованные части) на плоскости , где — эллиптические координаты. Отмеченные прямые линии и эллипс изображают кривую Хилла на этой плоскости.

Вся плоскость отображается на плоскости в полосу поэтому при достаточно больших положительных энергиях областью возможности движения на плоскости будет вся указанная полоса.