Глава 6. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ

В задаче трех и большего числа материальных точек при аналитическом приближенном ее решении приходится иметь дело с разложением возмущающей функции в кратные ряды Фурье. Этот необходимый этап в теории возмущенного движения связан с трудоемкими вычислениями. Для многих практических задач можно использовать разложения, приводимые в этой главе. Наряду с разложениями, включенными в главу 6, в небесной механике применяются разложения с использованием канонических оскулирующих элементов. Их можно найти в ряде пособий, например, [6] - [7].

§ 6.01. Разложение возмущающей функции в задаче о движении двух планет (случай круговых орбит)

Определение. Планетной задачей тел назовем задачу о движении тел (планет) с массами соответственно относительно центрального тела с массой то под действием сил взаимного тяготения, причем будем считать, что .

Таким образом, планетный вариант задачи трех тел — это задача о движении двух планет с массами соответственно относительно центрального тела с массой

При решении задачи можно воспользоваться различными формами уравнений движения, приведенными в главе 1. Однако при интегрировании дифференциальных уравнений для оскулирующих элементов необходимо иметь явное выражение для возмущающей функции через оскулирующие элементы.

В двухпланетной задаче в уравнениях движения планеты относительно центрального тела в качестве возмущающей функции фигурирует функция

а в уравнениях движения планеты фигурирует возмущающая функция

где

или

— прямоугольные координаты планеты в системе — координаты планеты в той же системе). Введем обозначения

Величина называется главной частью возмущающей функции и ее разложение представляет наибольшие затруднения. Выражения называются дополнительной частью возмущающей функции.

Из рис. 65 имеем

и

или

где

Взаимный наклон и углы определяются следующими формулами:

Существуют три метода разложения возмущающей функции: аналитический, численный и полуаналитический.

Рис. 65. Определение вспомогательных величин. — долгота восходящего узла орбиты планеты -наклоны орбит; — перицентры орбит; — аргументы перицентров; — истинные аномалии планет — аргументы широты; — взаимный наклон; — истинные долготы планет в орбите; -истинные долготы планет в орбите, отсчитываемые от точки

Сначала мы приведем основные формулы для аналитического разложения возмущающей функции в планетной и лунной теориях.

Введем обозначение

Тогда очевидно, что

или

где — символ Аппеля [см. (4.5.23)].

Ряд (4.6.06) сходится абсолютно, если

Для больших планет Солнечной системы условие (4.6.07) всегда выполняется.

Разложение (4.6.06) не является окончательным, так как оно представляет величину в виде явной функции а для окончательного разложения необходимо выразить также в виде явных функций оскулирующих элементов.

Для дополнительной части возмущающих функций как явных функций имеем следующие представления:

Рассмотрим простейший случай круговых орбит в котором

где — средние долготы планет в орбите.

Для этого случая разложение (4.6.06) принимает вид

где

Пользуясь коэффициентами Ньюкома [см. (4.5.98)], будем иметь

где — коэффициенты Лапласа [см. (4.5.93)].

Подставляя выражения (4.6.11) в (4.6.10), после преобразований получим

Коэффициенты выражаются формулами

Формулы (4.6.13) позволяют выписать в явном виде разложение основной части возмущающей функции с точностью до включительно.

Дополнительные части возмущающих функций а выражаются конечными формулами