§ 1.12. Определение неизвестных частот периодической или условно-периодической функции по совокупности табличных данных

В астрономии часто встречается следующая задача.

Пусть на основании наблюдений или вычислений получены значения функции для большого количества равноотстоящих значений аргумента с шагом А, и изменение этой функции носит колебательный характер. Требуется аппроксимировать ее тригонометрическим полиномом вида (7.1.46), в котором неизвестны не только коэффициенты, но и частоты и, кроме того, неизвестно само количество частот.

Прежде всего ставится задача об определении частот. Излагаемая ниже методика описана в [10].

Перейдем к новому аргументу по формуле чтобы точкам соответствовали точки

Обозначим искомые частоты по аргументу через причем предположим, что все Так как частоты по аргументу равны то из вытекает Таким образом, условие соответствует требованию, чтобы шаг таблицы значений функции не превышал половины периода соответствующего любой из частот

Табличные значения функции отвечающие значениям аргумента обозначим через Вычислим величины

составляющие значений функций

где Рассмотрим далее функции

аргумента на отрезке Эти функции представляют собой приближенные выражения косинус- и синус-преобразования Фурье функций соответственно. Определяются точки соответствующие максимумам функций (эти точки максимума должны для обеих функций совпадать). Искомые частоты равны

где — число найденных максимумов.

Практически удобно составить последовательности значений функций при целых и выделить наибольшие (пиковые) значения этих функций или непосредственно, если они совпадают с некоторыми из или с помощью интерполирования.

Частоты определяемые по обеим последовательностям должны совпадать между собой в пределах той или иной точности.

После того как найдены, возвращаемся к исходной переменной и записываем искомый аппроксимирующий полином Фурье в виде

где . В этом выражении частоты уже известны и требуется найти коэффициенты по заданным значениям функции в узлах Это выполняется точно так же, как указано в § 1.10.

Частоты могут оказаться все точно или с очень небольшими отклонениями кратными одной и той же частоте Тогда, положив получим обычный полином Фурье для функции периода Т. В ином случае следует попытаться

представить все как линейные комбинации нескольких (двух, трех, четырех) различных частот.

В [14] указывается другой способ нахождения неизвестных частот по заданной совокупности значений функции

при целых значениях нормированной переменной 0.

Выбирается число соответствующее длине искомого аппроксимирующего полинома

и равное количеству искомых частот в этом полиноме. Рассматривается система линейных уравнений

относительно Предпочтительно иметь большое число табличных значений функции выбрать умеренное значительно меньшее и решать систему (7.1.50) методом наименьших квадратов (см. гл. 4).

После того как найдены, рассматривают тригонометрическое уравнение

Если выразить косинусы углов, кратных через степени , то (7.1.51) примет вид алгебраического уравнения степени относительно . Корни этого уравнения определяют искомых частот функции нормированной переменной .