§ 1.09. Принцип максимума Понтрягина

Пусть движение некоторого управляемого объекта описывается -мерным дифференциальным уравнением

Вектор-функция считается непрерывной по всем аргументам в -мерной области и непрерывно дифференцируемой по . Если -мерный управляющий вектор задан, то при конкретных начальных условиях уравнение (8.1.35) имеет единственное решение.

Наряду с уравнением (8.1.35) рассмотрим функционал

для которого подынтегральная функция непрерывно дифференцируема по всем аргументам в фазовом пространстве У даны две точки, . Необходимо найти среди допустимых управлений переводящих движущийся объект из положения в положение у, такое управление для которого функционал (8.1.36) принимает наименьшее возможное значение, т. е.

В (8.1.37) - решение уравнения (8.1.35), удовлетворяющее условиям

Выше было сказано, что и у задаются, а значения независимой переменной не задаются, а определяются из (8.1.38).

Для существования оптимального управления и оптимального движения необходимо существование ненулевой непрерывной и дифференцируемой -мерной вектор-функции компоненты которой удовлетворяют системе дифференциальных уравнений

Кроме того, она должна быть такой, что функция

рассматриваемая как функция достигает при и —и максимума.

При

Если удовлетворяют системам (8.1.35) и (8.1.39), то функции рассматриваемые как функции х, являются постоянными и значение можно заменить любым другим.

Чаще всего целесообразно в качестве множества управляющих функций рассматривать -мерный (открытый или замкнутый) параллелепипед

Если то принцип максимума совпадает с необходимым условием Вейерштрасса [2], если же то классическое условие Вейерштрасса становится непригодным.

Существует большое число работ, посвященных различным аспектам принципа максимума. Среди них основополагающими являются монографии [37], [38].