§ 2.03. Разложение силовой функции двух тел

Г. Н. Дубошиным получена [1] явная форма разложения силовой функции двух тел и с массами и Силовая функция (4.2.03) для случая двух тел может быть написана в виде

где — взаимное расстояние между частицами тел Имеет место следующее разложение:

Функция является гармоническим многочленом относительно разностей координат.

В формулах (4.2.08) — (4.2.11) использованы следующие обозначения.

1) — расстояние между центрами масс тел точками и с прямоугольными координатами соответственно в неподвижной прямоугольной системе координат .

2) — численные коэффициенты, зависящие в конечном счете от коэффициентов полиномов Лежандра и коэффициентов биномиальных выражений,

3) Переменные выражаются через координаты элемента в собственной стеме координат тела с началом в и через косинусы углов, образуемых собственными осями тел с осями системы по формулам

Ряд (4.2.08) сходится абсолютно и равномерно, если где максимальное из расстояний от центра масс тела точки до его поверхности.

Вычисление величин (4.2.11) сводится к вычислению интегралов вида

представляющих постоянные параметры для тела

Если тело имеет три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии, пересекающиеся в центре масс то линии пересечения этих плоскостей суть его главные оси инерции и всякий интеграл (4.2.12) равен нулю, если хотя бы одно из чисел является нечетным. Если оба тела обладают такой симметрией, то тогда и разложение (4.2.08) принимает вид

где однородный многочлен относительно степени содержит только четные степени этих переменных.

Предположим, что собственные оси координат тела совпадают с главными осями инерции. Тогда первые три коэффициента разложения (4.2.08) выражаются формулами

где — главные, центральные моменты инерции тела — момент инерции тела относительно прямой

косинусы углов, образуемых прямой с направлениями собственных осей тела:

Приближенное выражение для силовой функции двух тел следующее:

Если