§ 1.07. Третья формулировка задачи Майера. Обобщение теоремы Лагранжа. Характеристические уравнения (обобщенные уравнения Эйлера — Лагранжа)

В задачах механики космического полета применяется другая формулировка задачи Майера.

Пусть -мерный фазовый вектор описывающий состояние управляемого объекта, удовлетворяет -мерному дифференциальному уравнению

где есть -мерный вектор управления, непрерывный при всех кроме, быть может, конечного числа точек разрыва. Пусть -мерный вектор имеет непрерывные компоненты и частные производные достаточно высокого порядка по всем аргументам у, в некоторой -мерной области для которой допустимые значения у, и и х являются координатами внутренних точек. Пусть, кроме того, известны начальные условия

так что при заданном векторе управления существует единственное решение уравнения (8.1.09), непрерывное по х, но с разрывными производными в точках разрыва вектора

Предположим, что на систему наложены связи, описываемые равенствами

где - непрерывные и достаточное число раз дифференцируемые функции по всем аргументам. Функции должны быть такими, чтобы соответствующие им координаты принимали заданные значения при

Обозначим через значения переменных при Заметим, что не связаны краевыми условиями (8.1.25).

Задача Майера для заданного Необходимо определить такой управляющий вектор чтобы при соответствующее ему решение векторного уравнения (8.1.09) у(х) удовлетворяло уравнениям связи (8.1.24), краевым условиям (8.1.25), а заданный функционал

принимал бы минимальное значение (см. [20]).

Замечание. Если переменно, то функционал

минимизируется и по

Управление называется оптимальным управлением, а соответствующее ему решение уравнения (8.1.09) называется оптимальным решением (оптимальным движением, оптимальной траекторией).

Обобщение теоремы Лагранжа. Компоненты оптимального вектора управления и и компоненты соответствующего ему оптимального решения доставляющие минимум функционалу (8.1.26), должны удовлетворять (кроме уравнений (8.1.09), условий связи (8.1.24) и краевых условий (8.1.23) и и характеристическим уравнениям (или обобщенным уравнениям Эйлера — Лагранжа)

где функция Лагранжа выражается равенством

Функции суть множители Лагранжа.

Таким образом, число функций, подлежащих определению, равно компонент оптимального решения

компонент оптимального управления множителей Лагранжа множителей Лагранжа Эти функции определяются дифференциальными или интегральными уравнениями (8.1.09) и (8.1.28) и функциональными уравнениями (8.1.24) и (8.1.29), поэтому для однозначного их определения необходимо иметь краевых условий. Выше написаны краевых условий (8.1.23) и (8.1.25). Остальные краевых условий определяются равенствами [4]

Замечание 1. Если решается вариационная задача для функционала (8.1.27), то необходимо иметь не краевых условий, а (см. [20]). Недостающее краевое условие имеет вид [9]

Замечание 2. Если оптимальное решение и оптимальное управление принадлежат некоторому пространству непрерывных функций, то вместо интегральных уравнений (8.1.28) можно воспользоваться эквивалентными им дифференциальными уравнениями

которые вместе с (8.1.29) представляют уравнения Эйлера (§ 1.02) для функции Лагранжа (8.1.30) (см. [20]).

Замечание 3. Обобщение теоремы Лагранжа, как и сама теорема Лагранжа (§ 1.02), выражает лишь необходимое условие существования оптимального решения и оптимального управления.