§ 2.02. Теорема Брунса о несуществовании алгебраических первых интегралов задачи трех тел, отличных от классических

Прежде чем сформулировать теорему Брунса, приведем несколько лемм, имеющих самостоятельный научный интерес. Эти леммы также принадлежат Брунсу [58].

Лемма 1. Если дифференциальные уравнения задачи трех тел имеют каноническую форму (10.2.01), то всякий алгебраический интеграл системы (10.2.01), не зависящий явно от имеет вид

где рациональная функция переменных .

Лемма 2. Всякий алгебраический интеграл системы (10.2.01), не зависящий явно от является алгебраической комбинацией интегралов вида

где — многочлены относительно , обладающие некоторой однородностью, а именно:

Лемма 3. Всякий алгебраический интеграл дифференциальных уравнений движения задачи трех тел вида (10.2.01), не зависящий явно от времени, является алгебраической комбинацией классических интегралов.

Заметим, что леммы 1—3 установлены Брунсом для задачи тел, а не только для задачи трех тел.

Лемма 4. Всякий зависящий явно от алгебраический интеграл задачи трех тел является алгебраической комбинацией алгебраических интегралов, не содержащих явно и интегралов вида где — алгебраическая функция переменных — канонические переменные из § 1.14 ч. IV, где они обозначены через и

Теорема Брунса. Всякий алгебраический интеграл задачи трех тел имеет вид

где — левые части классических интегралов, данных формулами в §§ 1.14 и 1.17 ч. IV, a F - алгебраическая функция аргументов

Замечание. Теорема Брунса утверждает, что не существуют другие интегралы, алгебраические относительно канонических переменных, введенных в §§ 1.14, 1.17 ч. IV, а следовательно, и относительно прямоугольных координат в инерциальной системе отсчета и их производных, так как последние выражаются через указанные канонические переменные алгебраическим образом. Но из этого вовсе не следует, что вообще отсутствуют какие-либо алгебраические интегралы.

Пенлеве распространил лемму 4 на задачу тел. Подробное изложение теоремы Брунса содержится в [5], [58].