§ 3.03. Другие определения устойчивости

Определение устойчивости по Лагранжу. Пусть — область конечных размеров, принадлежащая -мерному евклидову пространству Будем считать, что имеет конечные размеры, если для любых

где С — некоторая постоянная.

Частное решение уравнения (10.3.01) называется устойчивым по Лагранжу, если выполнены условия

Условия (10.3.11) означают ограниченность решения для всех значений

Область сплошной устойчивости по Лагранжу — это область, состоящая только из траекторий, устойчивых по Лагранжу.

Определение устойчивости по Пуассону. Частное решение уравнения (10.3.01) устойчиво по Пуассону, если точка М, описывающая траекторию, за бесконечное время проходит бесконечное число раз через сколь угодно малую окрестность начальной точки

Устойчивость по Пуассону траекторий получила большое развитие в теории динамических систем [41].

Определение устойчивости по Хиллу. Плоская ограниченная круговая задача трех тел имеет интеграл Якоби (5.2.07). Если постоянная интеграла Якоби С больше — значение постоянной интеграла Якоби для точки либрации то область возможности движения третьего тела

(рис. 115) состоит либо из одной овальной области, содержащей точки либо из двух овальных областей, одна из которых содержит тело а другая и области, внешней относительно кривой, расположенной за пределами всех точек либрации (кривая С.

Рис. 115. Кривые Хилла нулевой скорости.

Если и начальная точка траектории находится в одной из этих овальных областей, то траектория называется устойчивой по Хиллу. В частности, таковыми являются спутниковые орбиты при [для них ].

Определение устойчивости по Якоби. Пусть дана система дифференциальных уравнений четвертого порядка

обладающая «интегралом энергии»

Пусть имеются два решения:

определяемые близкими начальными условиями и принадлежащими одному и тому же изоэнергетическому семейству (для них одно и то же).

Траектория (10.3.14) называется устойчивой в смысле Якоби, если любая траектория (10.3.15) с возрастанием сближается с первой (точнее, порядок величины расстояния между ними выше первого порядка малости).

Понятия устойчивости в смысле Хилла и Якоби специально приспособлены для исследования поведения решений ограниченной задачи трех тел.

Определение устойчивости по Хиллу и Якоби впервые ветре чается у Пуанкаре, однако наиболее корректные определения

и, главное, наиболее общие качественные результаты в проблеме трех тел, связанные с ними, содержатся в работах Дж. Биркгофа [74], Н. Д. Моисеева [75], [76] и В. В. Степанова [77].

В литературе встречаются различные определения устойчивости на конечном промежутке времени, и интересующемуся читателю можно указать работу [78].