§ 2.09. Определение элементов эллиптической или гиперболической орбиты по двум гелиоцентрическим положениям с помощью уравнения Ламберта

Пусть даны гелиоцентрические (экваториальные или эклиптические) прямоугольные координаты и соответствующие радиусы-векторы небесного тела на моменты времени соответственно.

Вычисляем длину хорды равную

и величины по формулам (3.2.58). Уравнение (3.2.59) переписываем в следующем виде:

где

В качестве неизвестной величины принимается у. Если то (параболическая орбита). Если то у находится методом последовательных приближений. За нулевое приближение принимается

При этом, если то получим положительное решение уравнения (3.2.64) и а равно большой полуоси эллиптической орбиты. Если же то решение уравнения (3.2.64) отрицательное и равно действительной полуоси гиперболической орбиты.

Эксцентриситет эллиптической орбиты находится на основании того, что углы определяемые согласно (3.2.57), удовлетворяют соотношению

где — эксцентрические аномалии небесного тела в моменты соответственно. С помощью же соотношения могут быть выведены формулы

причем знаки синуса и косинуса угла совпадают со знаками числителя и знаменателя правой части последней формулы соответственно. По формулам (3.2.67) находим эксцентриситет и угол а затем с помощью (3.2.66) находим эксцентрические аномалии

По формулам (3.2.40) и (3.2.41) вычисляем далее средние аномалии на моменты соответственно, а также

среднее угловое движение Вторая из формул (3.2.41) служит при этом для контроля предыдущих вычислений.

В случае гиперболической орбиты (тогда мы получим при решении уравнения эксцентриситет орбиты и момент прохождения через перигелий находятся следующим образом.

Вычисляем величины на основании формул

Эти величины таковы, что

удовлетворяют (3.1.05), (3.1.06) при соответственно и представляют собой аналоги эксцентрических аномалий в случае гиперболического движения.

С помощью соотношения рассматриваемого при можно вывести формулы, аналогичные (3.2.67):

По этим формулам находим а затем Я] и с помощью (3.2.68). Контролем вычислений служит формула (3.2.51).

С помощью (3.2.50) находим далее момент прохождения небесного тела через перигелий орбиты.

Вычисление элементов производится одинаково для эллиптической и гиперболической орбит по формулам (3.2.42) — (3.2.47). При этом следует иметь в виду, что указанные формулы предполагают использование экваториальных гелиоцентрических координат Если же — эклиптические координаты, то нет необходимости в преобразованиях, указанных в § 2.05, п. 8. Тогда мы получим вместо (3.2.47) формулы

где определяются согласно (3.2.42), (3.2.43), (3.2.45).