§ 2.07. Квадратурные формулы для несобственных интегралов

1. Пусть требуется вычислить интеграл

в котором подынтегральная функция терпит при бесконечный разрыв. Квадратурная формула строится с помощью выделения в множителя, который обусловливает обращение в бесконечность при или указывает на порядок величины при Как правило, можно положить

где функция конечна на всем отрезке Тогда интеграл (7.2.49) записывается в виде

и множитель рассматривается как весовая функция типа Якоби. Квадратурную формулу для этого интеграла можно строить исходя из (7.2.39) или непосредственно, аппроксимируя соответствующим полиномом. Формула Эрмита (7.2.42) является одним из примеров подобного рода.

Можно также выполнить предварительно подстановку которая приводит к вычислению интеграла

т. е. интеграла вида (7.2.44) при для которого имеются таблицы коэффициентов и узлов квадратурной формулы.

2. Пусть требуется вычислить интеграл

в котором убывает при как некоторая степень и может быть представлена в виде

где функция ограничена на всей полуоси

После подстановки приходим к интегралу

Таким образом, мы приходим к вычислению интеграла вида (7.2.44) при

Более подробно о квадратурных формулах для несобственных интегралов см. в [16].