Глава 3. ПРОБЛЕМА УСТОЙЧИВОСТИ В НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКЕ

Основная задача теории устойчивости движения — это установление критериев, позволяющих судить, будет ли данное движение устойчивым или неустойчивым. При этом понятия «устойчивость движения» или «устойчивость решения» трактовались в предшествующий период и трактуются в настоящее время по-разному. В хронологическом порядке, по-видимому, сначала появилось понятие «устойчивость по Лагранжу», далее «устойчивость по Пуассону», «устойчивость по Хиллу», «устойчивость по Якоби», «устойчивость по Ляпунову», «устойчивость на конечном промежутке времени», «устойчивость при постоянно действующих возмущениях» и др.

Хотя возраст теории устойчивости соразмерен с возрастом теории дифференциальных уравнений, лишь в 1892 г. благодаря Ляпунову она получила наиболее общую постановку , главное, весьма мощные и математически строгие методы исследования. В приложениях постановка задачи об устойчивости движения, принадлежащая Ляпунову, и методы, созданные им, оказались весьма удачными и эффективными.

§ 3.01. Определение устойчивости по Ляпунову

Пусть имеется векторное дифференциальное уравнение

где -мерная вектор-функция определена в -мерной области — область в -мерном пространстве

Пусть, далее, уравнение (10.3.01) допускает частное решение Это решение, следуя Ляпунову, будем называть невозмущенным, а все другие — возмущенными.

Определение 1 [32]. Частное решение (невозмущенное движение) называется устойчивым по Ляпунову по отношению к вектору х, если для любого существует такое, что выполняются следующие условия:

1) все решения [в том числе и удовлетворяющие условию

определены в бесконечном интервале

2) для этих решений справедливо неравенство

при всех

Здесь норма вектора понимается как сумма модулей компонент

Определение 2. Если (не зависит от и выполняются остальные условия определения 1, то решение называется равномерно устойчивым в области Т.

Определение 3. Решение называется асимптотически устойчивым при если оно устойчиво и к тому же для любого существует такое, что все решения удовлетворяющие начальному условию обладают свойством

В частности, тривиальное решение асимптотически устойчиво, если оно устойчиво и

Определение 4. -мерный шар при фиксированном называется областью притяжения положения равновесия — тривиального решения изображаемого началом координат в системе

Определение 5. Пусть область Если имеет место определение 3 и то решение называется асимптотически устойчивым в целом. Для асимптотически устойчивого в целом решения его областью притяжения является все пространство

Определение 6. Решение называется неустойчивым по Ляпунову, если для некоторых и любого

существует хотя бы одно решение и момент такие, что

Определение 7. Решение уравнения (10.3.01) называется устойчивым при постоянно действующих возмущениях если для любых существует такое, что при все решения векторного уравнения

удовлетворяющие условию определены в бесконечном интервале и к тому же

Аналогичные определения можно дать и для

Ляпуновым разработаны два общих метода исследования на устойчивость решений дифференциальных уравнений, получившие в литературе название «первого метода Ляпунова» и «второго метода Ляпунова».

В § 3.05 приводятся основные теоремы Ляпунова. Эти выдающиеся результаты послужили источником для огромного количества работ по качественной теории дифференциальных уравнений, теории нелинейных колебаний, аналитической и качественной небесной механике. Впервые они были опубликованы в докторской диссертации А. М. Ляпунова [7]. Укажем также на издания [8], [32], [71—73], содержащие подробное изложение как основных теорем Ляпунова, так и результатов многих его последователей.