§ 3.01. Метод Рунге—Кутта

Метод Рунге — Кутта непосредственно рассчитан на интегрирование систем вида (7.3.02); он наиболее удобен при применении ЭВМ. Для того чтобы начать вычисления, достаточно знать лишь начальные значения искомых функций. Приведем сначала формулы для случая одного уравнения

Пусть дано начальное значение и требуется вычислить значения при Число называется шагом интегрирования.

Если обозначить

то формулы, определяющие по заданному с точностью до членов порядка следующие:

Формулы для имеющие погрешность порядка (эти формулы наиболее употребительны при вычислениях на ЭВМ), следующие:

По формулам, аналогичным приведенным, вычисляются последовательно и т. д.

Для контроля точности применяют вычисления с половинным шагом. А именно, вычисляют по приведенным формулам с шагом, равным а затем с шагом, равным Разность между полученными двумя значениями принимают за погрешность значения вычисленного с шагом Аналогичным образом контролируют далее точность значения

Имеются программы вычислений на ЭВМ с автоматическим выбором шага при заданной точности. В этом случае задается погрешность (например, 1-10-6) и некоторый первоначальный шаг интегрирования . ЭВМ вычисляет по такой программе с шагом и с шагом и сопоставляет полученные значения - Если разность между ними не превышает по абсолютной величине то ЭВМ переходит к вычислению с шагом Если эта разность больше то ЭВМ выполняет вычисления значения с шагом Если то ЭВМ переходит к вычислению с шагом Если это условие не выполнено, то ЭВМ вычисляет с шагом

Для системы уравнений вида (7.3.02) вычисления производятся параллельно для каждого уравнения по формулам, аналогичным (7.3.04) или (7.3.05).

Пусть дана система двух уравнений

и начальные условия - Обозначим

Формулы, определяющие например, с точностью до членов порядка следующие:

По таким же формулам вычисляются далее и т. д.

Системы уравнений (7.3.01) расписываются при применении указанных выше формул в виде систем уравнений первого порядка:

Ввиду простоты правых частей первой группы уравнений (для и независимости функций от формулы упрощаются.

При вычислениях по методу Рунге — Кутта значений искомых функций при каждом последующем значении аргумента требуется вычислять несколько значений правых частей уравнений в некоторых промежуточных точках. Поэтому объем вычислений больше, чем при использовании разностных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако метод Рунге — Кутта дает, вообще, большую точность, чем разностные методы. Из последних мы рассмотрим методы Адамса, Штермера, Коуэлла, так как они наиболее часто применяются в небесной механике.