§ 3.10. Метод стрельбы при нахождении решения линейной двухточечной краевой задачи

Основной вариант этого метода заключается в следующем (см. [9]).

Пусть дана система дифференциальных уравнений (в векторно-матричной форме)

(точкой обозначено дифференцирование по переменной и двухточечные краевые условия вида

где векторы имеют соответственно размерности -матрица с непрерывными по элементам», — постоянная матрица с строками, постоянная матрица с строками.

Решение данной краевой задачи ищем в виде

где - частное решение исходной системы при начальном условии, удовлетворяющем соотношению

-нетривиальное решение однородной системы, получающейся из (7.3.31) при

с начальным при условием, удовлетворяющим соотношению

Это векторное соотношение эквивалентно линейным алгебраическим уравнениям относительно неизвестных компонент вектора Эти уравнения всегда имеют решение, зависящее от произвольных постоянных. Таким образом, из (7.3.36) может быть найдена матрица столбцами. Если обозначить через матрицу из решений системы (7.3.35) при начальном условии то в (7.3.33) запишется в виде

где с — произвольный вектор с компонентами .

При определенных таким путем функция (7.3.33) удовлетворяет первому из краевых условий (7.3.32) при всех с. Дальнейшая цель состоит в таком выборе вектора с, чтобы решение (7.3.33) удовлетворило второму краевому условию (в точке Можно сказать, что подбираются такие начальные условия при чтобы интегральная кривая исходной системы (7.3.31), удовлетворяя этим начальным условиям, достигла бы при нужной точки. Отсюда название метод стрельбы.

Подчинив вектор с второму краевому условию, получим

Если

(это — условие разрешимости поставленной задачи), то

Функция

где с определяется согласно (7.3.40), дает решение исходной краевой задачи. Таким образом, построение этого решения сводится к следующему;

1) нахождению каких-либо численных начальных условий из системы алгебраических уравнений (7.3.34), при этом не исключается случай нахождению матрицы из линейной алгебраической системы (7.3.36); 3) построению решения задачи Коши исходных уравнений (7.3.31) при начальном условии построению матрицы решений задачи Коши для однородной системы (7.3.35) при начальных условиях вычислению вектора с из (7.3.40).

Для построения решений задач Коши можно применить любой из рассмотренных выше методов.

Для иллюстрации укажем, какой вид принимают приведенные выше формулы в случае системы второго порядка

и краевых условий

Начальные условия (7.3.34) для примут вид

откуда всегда можно подобрать значения при Начальные условия (7.3.36) для имеют вид

откуда (например, при где с — произвольная постоянная. Таким образом, решение алгебраического уравнения (7.3.45) зависит от одной произвольной постоянной и искомая матрица имеет один столбец с элементами 1 и соответственно. Матричное решение однородной системы, получающейся из (7.3.42) при ищется при начальном условии

и представляет собой матрицу из одного столбца с элементами Искомое решение краевой задачи запишется по аналогии с (7.3.41) в виде

причем постоянная с находится из условия вида (7.3.38)

Задача разрешима, если и тогда