§ 1.05. Движение спутника относительно центра масс в центральном ньютоновском поле

Предполагая размеры спутника достаточно малыми по сравнению с расстоянием до притягивающего центра и считая орбиту его центра масс эллиптической кеплеровской, из уравнений движения, приведенных в [1], можно получить [10]

где — относительные направляющие косинусы оси аппликат «орбитальной» системы координат (т. е. системы координат, ось аппликат которой направлена по радиусу-вектору центра инерции спутника, ось ординат параллельна нормали к плоскости орбиты, а ось абсцисс параллельна трансверсали) в подвижной системе координат, оси которой направлены по главным центральным осям инерции спутника.

Относительные направляющие косинусы удовлетворяют соотношениям

где со — угловая скорость движения центра масс спутника по орбите, — направляющие косинусы оси абсцисс орбитальной системы в подвижной (связанной) системе координат, подчиняющихся уравнениям

В случае круговой орбиты центра масс уравнения движения допускают интеграл Якоби

Если то имеет место еще один первый интеграл

Уравнения движения (9.1.56) допускают стационарное решение

соответствующее относительному равновесию спутника на орбите, при котором спутник все время обращен к Земле одной стороной.

Из приведенных уравнений можно получить различные приближенные формы уравнений движения спутника относительно центра масс на круговой и эллиптической орбитах.

В простейшем случае плоских колебаний спутника на круговой орбите уравнения сводятся к интегралу энергии

в котором — угол между осью наименьшего момента инерции спутника и радиусом-вектором его центра инерции, — постоянная интеграла живых сил.

Возможны три типа движения:

Из этих трех типов лимитационное движение является исключительным, так как оно разделяет два других типа движения. На фазовой плоскости ему соответствует сепаратриса. Либрационное движение описывается формулой

в которой модуль эллиптического интеграла равен

Период колебаний спутника равен

В случае малых колебаний

Если орбита центра масс эллиптическая, то дифференциальное уравнение движения спутника относительно центра масс будет иметь вид

где — эксцентриситет орбиты, истинная аномалия центра масс спутника.

Полагая

вместо (9.1.68) получаем следующее уравнение Хилла:

Принимая теперь за независимую переменную эксцентрическую аномалию Е, приходим к уравнению

в котором — гравитационный параметр притягивающего центра, а фокальный параметр орбиты.

Либрационные движения спутника подразделяются на нерезонансные и резонансные. Последние исследованы В. В. Белецким [10], В. Г. Деминым и Р. Б. Сингхом [17]. В работе [17] показано существование резонансов при для любых целых значений

Малые пространственные колебания спутника в случае круговой орбиты описываются уравнениями

Свойства пространственных колебаний определяются корнями характеристического уравнения

в котором

Малые пространственные колебания на эллиптической орбите описываются следующей системой дифференциальных уравнений:

где