§ 3.04. Формула Лагранжа

Уравнение вида

где и параметр а — комплексные величины, -заданная функция, голоморфная внутри некоторого контура , содержащего точку а, называется уравнением Лагранжа.

Если на контуре

то уравнение Лагранжа имеет внутри контура 5 единственный корень, являющийся голоморфной функцией а и обращающийся в а при

Этот корень может быть найден при помощи формулы Лагранжа, которая имеет вид

Рассмотрим теперь некоторую заданную и голоморфную внутри контура функцию Тогда разложение этой функции от корня уравнения Лагранжа дается формулой

которую можно назвать обобщенной формулой Лагранжа.

Приведенные здесь разложения для и абсолютно сходятся для любого значения а в области, ограниченной контуром и параметра а, удовлетворяющего условию

Формула Лагранжа и ее обобщение играют весьма важную роль в небесной механике. Действительно, поскольку уравнение Кеплера можно рассматривать как частный случай уравнения Лагранжа, то они позволяют достаточно просто построить ряды по степеням эксцентриситета для эксцентрической аномалии Е и различных функций Е.