§ 3.04. Формула Лагранжа
Уравнение вида
где
и параметр а — комплексные величины,
-заданная функция, голоморфная внутри некоторого контура
, содержащего точку а, называется уравнением Лагранжа.
Если на контуре
то уравнение Лагранжа имеет внутри контура 5 единственный корень, являющийся голоморфной функцией а и обращающийся в а при
Этот корень может быть найден при помощи формулы Лагранжа, которая имеет вид
Рассмотрим теперь некоторую заданную и голоморфную внутри контура
функцию
Тогда разложение этой функции от корня уравнения Лагранжа дается формулой
которую можно назвать обобщенной формулой Лагранжа.
Приведенные здесь разложения для
и
абсолютно сходятся для любого значения а в области, ограниченной контуром
и параметра а, удовлетворяющего условию
Формула Лагранжа и ее обобщение играют весьма важную роль в небесной механике. Действительно, поскольку уравнение Кеплера можно рассматривать как частный случай уравнения Лагранжа, то они позволяют достаточно просто построить ряды по степеням эксцентриситета
для эксцентрической аномалии Е и различных функций Е.