§ 1.20. Уравнение Гамильтона — Якоби. Метод Гамильтона — Якоби

В §§ 1.13-1.19 были приведены канонические формы уравнений абсолютного и относительного движения задачи тел. Интегрирование канонических уравнений движения механической схемы с степенями свободы тесно связано с интегрированием одного уравнения в частных производных, называемого уравнением Гамильтона — Якоби. Оно имеет вид

Правило его составления следующее: обобщенные импульсы входящие в функцию Гамильтона Н (4.1.51), заменяются частными производными некоторой неизвестной функции после чего записывается уравнение (4.1.67).

Если функция Гамильтона Н не зависит явно от то вместо уравнения (4.1.67) обычно записывается уравнение

с неизвестной функцией Переход от уравнения (4.1.68) к уравнению (4.1.67) осуществляется заменой

Определение. Полным интегралом уравнения в частных производных первого порядка называется такое его решение, в котором число неаддитивных (существенно различных) произвольных постоянных равно числу независимых переменных.

Если в уравнение в частных производных не входит сама функция как это имеет место в уравнении Гамильтона — Якоби, то число существенно различных произвольных постоянных на единицу меньше [10].

Якоби доказал [10], что нахождение общего интеграла канонической системы (4.1.52) эквивалентно нахождению полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби (4.1.67). Это утверждение известно под названием теоремы Гамильтона — Якоби.

Теорема Гамильтона—Якоби. Если известен полный интеграл уравнения Гамильтона—Якоби (4.1.67), то общий интеграл канонической системы (4.1.52) дается равенствами

Первые уравнений определяют обобщенные координаты как функции и произвольных постоянных Подставляя вторую группу уравнений (4.1.70), находим обобщенные импульсы как функции и произвольных

Если известно общее решение канонической системы уравнений (4.1.52)

то методом Якоби [10] можно построить полный интеграл уравнения (4.1.67).

Имеем дифференциальное равенство

Найдем из первых равенств (4.1.71) величины и подставим их в другие соотношений. Получим

Если в равенстве (4.1.72) заменить на то, согласно методу Якоби, оно будет полным дифференциалом функции Его интегрирование дает нам полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби, так как найденная функция зависит от .

Если является полным интегралом уравнения Гамильтона — Якоби (4.1.68), то общий интеграл канонической системы (4.1.52) выражается равенствами