§ 1.09. Теория фигур небесных тел

Теория фигур равновесия небесных тел состоит в изучении формы, которую принимает жидкость, частицы которой взаимно притягиваются по ньютоновскому закону при отсутствии внешних сил.

Основной вклад в эту теорию был сделан И. Ньютоном, Клеро, Лежандром, Лапласом, Маклореном, Якоби, А. Пуанкаре b А. М. Ляпуновым. Последовательное изложение можно найти в работах [20] — [26]. Приложения теории фигур планет в гравиметрии даются в книге Н. П. Грушинского [27], а звезднодинамические аспекты обсуждаются в монографии К. Ф. Огородникова [28].

Фигуры равновесия небесных тел изучаются на основе уравнений деформируемого тела (см. § 1.08), динамических уравнений Эйлера и гидродинамических уравнений. Последние имеют вид

где - давление жидкости в текущей точке, V — потенциал сил притяжения, — плотность, — компоненты мгновенной угловой скорости.

Теорема Пуанкаре. Единственно возможным движением жидкости, при котором она находится в состоянии относительного равновесия, является перманентное вращение ее вокруг одной из главных центральных осей инерции.

Если то, направляя ось аппликат вдоль вектора со, приведем уравнения (9.1.94) к форме

где

V — потенциал силы тяжести.

Теорема. Если изолированная идеальная жидкость находится в состоянии относительного равновесия, то ее эквипотенциальные (уровенные) поверхности одновременно являются

поверхностями изобарическими (равного давления) и изостерическими (равной плотности).

Следствие. Жидкая масса, находящаяся в состоянии относительного равновесия, ограничена уровенной поверхностью.

Если жидкость однородна и несжимаема, то уровенная поверхность удовлетворяет уравнению Вавра

в котором — поверхность, ограничивающая жидкость, — элемент поверхности, — внешняя нормаль.

Теорема Лихтенштейна. Фигура относительного равновесия однородной вращающейся жидкости обладает плоскостью симметрии (экватором), которая проходит через ее центр инерции и перпендикулярна к оси вращения.

Следствие. Единственной фигурой равновесия невращающейся однородной жидкости является сфера.

Приводимые ниже теоремы накладывают ограничения на угловую скорость вращения жидкости, находящейся в состоянии относительного равновесия.

Теорема Пуанкаре. Относительное равновесие жидкости может иметь место только при угловых скоростях ее вращения, не превосходящих

Теорема Крудели. Если жидкость, находящаяся в состоянии относительного равновесия, ограничена выпуклой поверхностью, то ее угловая скорость не может превосходить . Рядом авторов при различных постановках задачи изучены различные типы фигур равновесия вращающихся жидких масс. Из них наиболее важные астрономические, гравиметрические и геодезические приложения имеют эллипсоидальные фигуры равновесия.

Условие, при котором эллипсоид

с постоянной плотностью

является фигурой равновесия, сводится к уравнению

В этом уравнении использованы обозначения

причем через обозначена переменная, удовлетворяющая уравнению

Уравнение (9.1.100) допускает два типа эллипсоидальных фигур равновесия:

Существуют два типа эллипсоидов Маклорена: сплюснутые и дискообразные.

В зависимости от величины угловой скорости, точнее, значений параметра имеют место следующие случаи:

1) - два эллипсоида Маклорена и один эллипсоид Якоби;

2) — два эллипсоида Маклорена;

3) — один эллипсоид Маклорена;

4) ни одного равновесного эллипсоида.

Из теорем теории фигур равновесия вращающихся жидких масс вытекают некоторые важные гравиметрические результаты. Ниже приводится ряд соответствующих теорем и формул.

Теорема Стокса. Если вращающаяся жидкая масса находится в состоянии относительного равновесия, то сила тяжести на ее поверхности и вне ее однозначно определяется заданием массы жидкости, угловой скорости ее вращения и уровенной поверхностью.

Формула Брунса

здесь — производная по нормали к уровенной поверхности, — главные радиусы кривизны уровенной поверхности, ускорение силы тяжести.

Редукция Фая. Из (9.1.104) для Земли при

где плотность воздуха, получаем формулу для приведения в свободном воздухе:

Потенциал силы тяжести для уровенной поверхности, имеющей форму эллипсоида вращения, равен

где использованы эллиптические координаты связанные с геоцентрическими прямоугольными координатами формулами преобразования [27]

— полином Лежандра второго порядка, а уровенная поверхность соответствует следующим значениям [27]:

Из приведенного потенциала силы тяжести вытекает формула для вычисления ускорения силы тяжести на уровенной поверхности в функции геодезической широты, именуемая формулой Пицетти — Сомильяна:

в которой — ускорения силы тяжести на экваторе и полюсе соответственно, геодезическая широта.