Глава 2. ПРОБЛЕМА ИНТЕГРИРУЕМОСТИ И СХОДИМОСТЬ РЯДОВ В НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКЕ

Всякая задача небесной механики сводится к дифференциальным уравнениям, и, следовательно, ее решение равносильно решению дифференциальных уравнений, описывающих ее. Однако термину «решение» дифференциальных уравнений на разных этапах приписывалось различное содержание и в силу сказанного проблема интегрируемости в небесной механике трактовалась в различные эпохи по-разному.

С эпохи Лагранжа и Лапласа задача считается интегрируемой, если она решается «в квадратурах», т. е. можно найти общий интеграл дифференциальных уравнений задачи, содержащий независимые произвольные постоянные, число которых в точности равно порядку системы. С этой точки зрения наиболее интересными интегрируемыми задачами являются задача двух тел II) и задача двух неподвижных центров (см. ч. V, гл. 3). В задаче тел известны 10 первых интегралов (см. ч. IV), и, как показал Лагранж, порядок системы может быть понижен еще на две единицы. Следовательно, для нахождения ее общего интеграла следует знать еще первых интегралов, однако фундаментальные исследования Брунса, Пуанкаре и Пенлеве (см. §§ 2.03 и 2.04) доказали бесплодность дальнейших поисков.

Развитие аналитической теории дифференциальных уравнений позволило дать еще одну трактовку проблеме интегрируемости в небесной механике. Если можно найти решение дифференциальных уравнений задачи небесной механики в виде рядов, сходящихся для любых априорно заданных параметров системы (массы тел, начальные условия и др.), то данную задачу также можно отнести к интегрируемым задачам. Для задачи трех тел такое решение найдено Зундманом (см. § 2.05). Основные трудности, которые возникают при отыскании решения в виде степенных рядов, связаны с устранением особенностей в дифференциальных уравнениях, возникающих из-за возможности столкновения двух или большего числа тел (см. § 2.04).

Другая, качественная трактовка проблемы интегрируемости, получившая развитие в наше время, понимается как построение универсальной классификации всевозможных решений по различным свойствам b связанное с этим разбиение всего фазового пространства на области, содержащие движения, принадлежащие только одному классу. При этом сами решения в случае надобности могут быть найдены приближенно либо аналитическими, либо численными методами.

Пуанкаре ввел понятие практической интегрируемости задач небесной механики, понимая под этим нахождение приближенного решения, удовлетворительно представляющего наблюдения и охватывающего практически приемлемый промежуток времени. В этом смысле все задачи небесной механики интегрируемы, особенно в связи с большими возможностями электронных вычислительных машин. Использование методов теории возмущений (см. ч. IV, гл. 9) обусловливает появление асимптотических расходящихся рядов. Практика построения теорий движения тел Солнечной системы, накопленная в небесной механике на протяжении двух столетий, говорит в пользу применения таких рядов в конкретных задачах.