Глава 3. ТЕОРИЯ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ОРБИТ ИСЗ

В этой главе изложена теория промежуточных орбит ИСЗ. Эти орбиты строятся на основе некоторых аппроксимирующих выражений для потенциала притяжения Земли, допускающих интегрирование дифференциальных уравнений движения спутника в квадратурах. Поскольку аппроксимирующие выражения включают в себя основную часть возмущающей функции, обус: ловленной несферичностью Земли, промежуточные орбиты оказываются более близкими к истинной орбите спутника, чем кеплеровский эллипс. В некоторых случаях метод промежуточных орбит позволяет математически строго решить главную проблему в теории движения ИСЗ.

§ 3.01. Задачи Штерна, Гарфинкеля и Акснеса

В этом параграфе рассмотрены модельные задачи Т. Штерна [24], Б. Гарфинкеля [25] и К. Акснеса [26], которые дают приближенные решения проблемы о движении спутника с учетом сжатия Земли. Эти решения определяют некоторые промежуточные орбиты, которые более близки к истинной орбите спутника, чем кеплеровская орбита, и могут рассматриваться как невозмущенные при построении полной теории движения спутника. Поскольку здесь вводятся формулы, которые аппроксимируют только первые два члена потенциала притяжения Земли, то для силовой функции можно принять следующее упрощенное выражение:

где - постоянная притяжения, — масса и средний экваториальный радиус Земли, — безразмерная постоянная, и Ф — геоцентрический радиус-вектор и широта спутника. В формуле (6.3.01) отброшены члены, имеющие порядок 1% и выше.

1. Задача Штерна. Для аппроксимации силовой функции . Штерн вводит функцию V, которая определяется следующей формулой:

где — параметр, — наклон орбиты спутника. Эта формула и дает промежуточный потенциал или силовую функцию в задаче Штерна Пусть

есть возмущающая функция. Тогда из (6.3.01) и (6.3.02) находим

Эта формула показывает, что для орбит с малым эксцентриситетом функция будет малой величиной. Поэтому можно считать, что для таких орбит функция V достаточно хорощо аппроксимирует силовую функцию

Дифференциальные уравнения движения спутника в силовом поле с потенциалом V строго интегрируются в квадратурах. Если воспользоваться сферическими координатами связанными с экваториальными геоцентрическими прямоугольными координатами формулами

и применить метод Гамильтона — Якоби, то полный интеграл уравнения Гамильтона запишется в виде

где

причем

— произвольные постоянные.

Знание полного интеграла как известно, позволяет записать общий интеграл задачи. Мы не будем здесь выписывать общего решения, а приведем лишь три первых интеграла, которые легко находятся из (6.3.05). Они имеют следующий вид:

и полностью решают задачу. Формулы, описывающие промежуточную орбиту, приводятся в уже указанной работе - Т. Штерна [24] и его книге [28].

2. Задача Гарфинкеля. Б. Гарфинкель предложил следующую формулу промежуточного потенциала:

или

где

Формулы (6.3.01) и (6.3.06) дают следующее выражение для возмущающей функции:

Формула (6.3.06) была подобрана таким образом, чтобы промежуточная орбита учитывала все вековые возмущения первого порядка.

Как и в задаче Штерна, уравнения движения с силовой функцией, определяемой формулой (6.3.06), интегрируются методом Гамильтона — Якоби путем разделения переменных.

Первые интегралы задачи Гарфинкеля имеют вид

где — произвольные постоянные. Формулы, описывающие промежуточное движение, приводятся в работе Б. Гарфинкеля [25].

3. Задача К. Акснеса. К. Акснес строит свою промежуточную орбиту на основе промежуточного потенциала V, определяемого формулой

Формула для возмущающей функции в этом случае имеет вид

Функция V, таким образом, мало отличается от если эксцентриситет орбиты спутника является малой величиной. Как и в задаче Гарфинкеля, она выбрана так, чтобы промежуточная орбита учитывала вековые возмущения первого порядка относительно 1г.

Общее решение уравнений промежуточного движения в этом случае также может быть найдено методом Гамильтона — Якоби. Оно получено в работе [26]. Приведем здесь первые интегралы задачи Акснеса. Они таковы:

Здесь — канонические постоянные Делоне.

4. Замечания. Предложенные Т. Штерном, Б. Гарфинкелем и К. Акснесом промежуточные потенциалы по своей структуре имеют много общего друг с другом. Все три потенциала можно записать в такой общей форме:

Отсюда и следует интегрируемость рассмотренных задач, ибо эта форма, как известно, позволяет проинтегрировать соответствующее уравнение Гамильтона — Якоби методом разделения

переменных [27]. Далее, все промежуточные потенциалы обладают тем важным свойством, что они дают возможность построить промежуточные орбиты, учитывающие важнейшие неравенства в движении спутника, а именно, вековые возмущения первого порядка относительно сжатия Земли.

К настоящему времени наиболее полно разработана промежуточная орбита Акснеса. На ее основе была развита теория, учитывающая вторую, третью и четвертую зональные гармоники геопотенциала. Эта теория дает вековые возмущения до третьего и периодические до второго порядка относительно включительно.

Недостатки всех промежуточных потенциалов заключаются в следующем. Все они зависят не только от характеристик гравитационного поля Земли, но и от элементов орбиты (большая полуось, эксцентриситет, наклон) спутника. Поэтому точность аппроксимации для разных орбит будет разной. Во всех случаях возмущающая функция содержит коротко-периодические члены первого, порядка относительно . Следовательно, промежуточные орбиты не учитывают этих возмущений, и их нужно определять методами теории возмущений.