Глава 2. УСТОЙЧИВОСТЬ И СТАБИЛИЗАЦИЯ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ИСКУССТВЕННЫХ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ

В этой главе приводятся без доказательств критерии устойчивости в смысле Ляпунова различных режимов вращения относительно центра масс искусственных спутников планет и космических аппаратов, которые вытекают либо из строгого, либо и из линейного анализа уравнений движения. Описываются различные способы стабилизации вращения космических аппаратов. Даются только результаты исследования ограниченных задач динамики космического полета, полученные в предположении, что вращательное движение спутников не оказывает никакого влияния на их орбитальное движение.

Основные результаты этой ветви астродинамики последовательно изложены в [10] и [16]. Достаточно полно результаты указанных исследований освещены в прекрасном обзоре В. М. Морозова [29].

§ 2.01. Устойчивость движения спутников в гравитационном поле сил

Задача о вращательном движении небесного тела относительно его центра инерции в ньютоновском поле тяготения допускает в качестве частных решений положения относительного равновесия, при которых главные центральные оси инерции спутника, движущегося по круговой орбите, ориентированы вдоль радиуса-вектора центра масс, касательной к орбите и нормали к плоскости орбиты (см. § 1.05).

Впервые эта проблема была изучена Лагранжем [7], который в 1780 г. указал необходимые условия устойчивости отмеченных частных решений. В современных терминах решение задачи дано в [1]. В последнее время в нелинейной постановке она исследовалась В. В. Белецким [10], который указал и проанализировал достаточные условия устойчивости. Как оказалось,

для устойчивости относительного равновесия тела на круговой орбите достаточно, чтобы его наибольшая главная центральная ось инерции была направлена вдоль радиуса-вектора его центра масс, наименьшая — по нормали к плоскости орбиты, а средняя — по касательной к орбите.

Из анализа интеграла Якоби вытекает, что существует четыре устойчивых положения относительного равновесия спутника на орбите, которые можно получить одно из другого посредством поворотов спутника на 180° вокруг радиуса-вектора и нормали к плоскости орбиты. При этом должно выполняться неравенство

При помощи теорем Кельвина и Н. Г. Четаева В. В. Румянцев [16] показал, что при выполнении одного из неравенств

положения относительного равновесия спутника неустойчивы, а при выполнении одного из неравенств

возможна их гироскопическая стабилизация.

Положения устойчивого относительного равновесия спутников на круговых орбитах являются центрами либраций. Границы либраций спутников были оценены В. В. Белецким [10]. Области либрации определяются неравенствами

в которых использованы обозначения § 1.05 и которые надлежит рассматривать совместно с тривиальными геометрическими интегралами для относительных направляющих косинусов.

Более точная оценка границ либрации несимметричного спутника приводится в работе Ликинса и Роута [30] и опирается на анализ неравенства

Ряд работ посвящен исследованию устойчивости положений относительного равновесия спутников, снабженных роторами, т. е. спутников-гиростатов. Рассматривались два типа гиростатов. В первом типе постоянной во все время движения остается

компонента момента количеств относительного движения ротора по главным центральным осям инерции спутника

а во втором типе неизменным остается вектор гиростатического момента, т. е. его компоненты суть

где — осевые моменты инерции роторов, — направляющие косинусы свободных осей роторов. Второй тип гиростатов впервые был введен В. В. Румянцевым [16].

Устойчивость положений относительного равновесия гиростата исследовалась А. А. Анчевым [31] и В. В. Румянцевым [16]. Рассматривались следующие три положения относительного равновесия:

при

при

при

Достаточные условия устойчивости указанных положений относительного равновесия приводятся к виду [18]: для первого случая

для второго случая

для третьего случая

В случае динамически симметричного спутника, когда уравнения движения допускают следующие частные решения:

где — угол между осью динамической симметрии спутника и нормалью к плоскости орбиты, — угловая скорость вращения спутника.

Этим решениям соответствуют перманентные вращения спутника вокруг его оси симметрии, которая неизменно расположена относительно орбитальной системы координат.

Необходимые условия устойчивости частных решений (9.2.14) — (9.2.16) были получены Г. Н. Дубошиным [32], а достаточные условия устойчивости были установлены Ф. Л. Черноусько [33]. Они сводятся к следующим неравенствам:

для первого случая

для второго случая

для третьего случая

Эти результаты были обобщены Н. Н. Колесниковым [34] на случай осесимметричного спутника-гиростата, движущегося на круговой орбите, в предположении, что Он выявил три режима регулярной прецессии, аналогичных решениям (9.2.14) — (9.2.16). Случай (9.2.14) остается без изменений, а для двух других случаев вместо (9.2.15) и (9.2.16) будем иметь

Достаточные условия устойчивости для первого типа движения приобретают вид

а для двух других случаев сохраняются неизменными.