§ 10.06. Общее решение уравнений основной проблемы в теории Хилла—Брауна

Общее решение уравнений (4.10.25) строится в виде рядов. Общий член ряда для и представляет собой совокупность членов вида

где — постоянный коэффициент, эксцентриситет орбиты Солнца; числа могут принимать значения — параметры, играющие роль постоянных интегрирования и вводимые искусственно (правые части исходных уравнений (4.10.25) их не содержат).

Переменная является комплексно сопряженной по отношению к . Ряд для отличается от (4.10.40) тем, что аргумент под знаком имеет вид

причем . Последнее означает, что выражение для имеет общий множитель к.

Сумма степеней параметров , а называется порядком, а сам множитель называется характеристикой, обозначаемой через X.

Совокупности членов в выражениях для с характеристикой X обозначаются через и соответственно.

Основные аргументы выражаются формулами

где постоянные играют роль постоянных интегрирования, постоянная та же, что и выше, а постоянные находятся как функции параметра в ходе построения рядов для

Через обозначены осредненные, т. е. освобожденные от периодических возмущений, средняя долгота Луны в орбите, долгота перигея и долгота восходящего узла лунной орбиты соответственно. Через X и обозначены одноименные долготы, Относящиеся к Солнцу.

Члены нулевого порядка относительно , а в этом решении для соответствуют промежуточной орбите Хилла.

Браун находит непосредственно члены этих рядов (т. е. численные значения коэффициентов для и до шестого порядка относительно , причем считается эквивалентным по порядку малости а а считается эквивалентным Численное значение постоянной фиксируется. Остальные параметры остаются произвольными, т. е. входят буквенно, так что решение зависит от шести произвольных постоянных

Для постоянных получены следующие выражения:

где зависят только от и находятся с помощью специально разработанного Хиллом метода. Если ограничиться небольшой точностью, то

Численные значения следующие:

Постоянные с и определяют вековые движения перигея и восходящего узла, так как

Эти вековые движения при равны соответственно в юлианский год.