Глава 3. НЕКОТОРЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ПОЛЕТА В ОКОЛОЗЕМНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Глава 3 содержит различные формы уравнений ракетодинамики. Кратко излагается постановка и решение оптимальных задач динамики полета в околоземном пространстве.

§ 3.01. Уравнения движения ракеты. Формула Циолковского

Ракетой назовем аппарат, снабженный реактивными двигателями, движение которого происходит под действием внешней силы и реактивной тяги Т, обусловленной сгоранием топлива (рабочего тела) в двигателях. Ракета — это частный случай тела переменной массы, поэтому ее движение описывается уравнениями Мещерского (8.2.01) и (8.2.05), в которых следует положить (М — масса ракеты), (с — скорость истечения частиц относительно ракеты на срезе сопел реактивных двигателей).

Сила тяги Т равна

а уравнение движения ракеты принимает вид

Уравнение (8.3.01) справедливо при условии, что

Отрезок траектории, на котором называется активным участком, а отрезок траектории, на котором называется пассивным участком.

Если рассматривать движение ракеты в неподвижной системе координат то уравнения для координат ракеты

выражаются равенствами

где

Если внешние силы отсутствуют и движение ракеты вызывается лишь силой тяги, то уравнение (8.3.01) принимает вид

Уравнение (8.3.03) интегрируется в любом промежутке времени

Уравнение (8.3.04) носит название формулы К. Э. Циолковского [47].

Определение. Величина

— масса ракеты без топлива) называется характеристической скоростью ракеты или характеристической скоростью маневра [20]. Она определяет величину изменения скорости ракеты за счет расхода топлива, поэтому многие оптимальные задачи динамики космического полета связаны с минимизацией величины (8.3.05).

Если вектор с коллинеарен с вектором скорости и противоположен по направлению, то движение ракеты будет прямолинейным.

Обозначим через массу топлива. Тогда очевидно, что

и из формулы Циолковского (8.3.05) можно получить скорость ракеты в конце активного участка траектории

Если начальная скорость ракеты то для абсолютной величины скорости в конце активного участка траектории имеем

Определение. Отношение называется числом Циолковского.

Уравнение

описывает движение ракеты на пассивных участках траектории, а уравнение

описывает движение ракеты на последнем пассивном участке траектории.

Пусть масса ракеты является заданной функцией времени где -некоторая неотрицательная монотонно убывающая функция времени, не превосходящая единицу. Можно показать [47], что изменение массы ракеты по линейному закону порождает постоянную силу тяги (при а изменение массы по показательному закону порождает постоянное ускорение ракеты.

Определение. Функция

называется расходом массы в единицу времени (например, секундным расходом), а функция

называется удельным расходом топлива в единицу времени. Определение. Число

— ускорение, сообщаемое ракете тягой, — ускорение силы тяжести) называется перегрузкой или величиной перегрузки.

Для показательного закона изменения массы перегрузка постоянна.

Подробно эти вопросы рассмотрены в [20], [47], [49], [51].