§ 1.09. Финальные движения в задаче трех тел. Захват и обмен в задаче трех тел

Финальными движениями в задаче тел называются предельные движения, к которым стремятся движения каждого из тел при

Классификация финальных движений в задаче трех тел была дана Ж. Шази [49]. Согласно Шази существует семь типов финальных движений в задаче трех тел (рис. 114).

Рис. 114. — прямоугольная барицентрическая система координат; — барицентрические скорости точек соответстаеино.

А) Движения гиперболические:

причем для достаточно больших значений Отсюда вытекает, что

B) Движения гиперболо-параболические:

причем

для достаточно больших значений Отсюда вытекает, что — скорость тела относительно

C) Движения гиперболо-эллиптические:

С — некоторая постоянная, причем

при достаточно больших значениях

Движения параболо-параболические:

причем все

для достаточно больших На бесконечности все относительные скорости обращаются в нуль.

E) Движения параболо-эллиптические.

причем

для достаточно больших Отсюда вытекает, что

F) Движения ограниченные, все

G) Движения осциллирующие: с одной стороны неограничены, но и не стремятся к бесконечности при Существование таких движений у Шази не было доказано. Этот вопрос положительно решен К- А. Ситниковым [50].

Очевидно, что в приведенной классификации индексы 0, 1 и 2 не имеют существенного значения.

Пусть А— постоянная интеграла энергии, написанного в барицентрических координатах.

Если то при финальные движения могут принадлежать только типам С), Е),

Если то при финальные движения принадлежат либо С), либо

Если то при финальные движения могут принадлежать А), В), С).

Аналогичная классификация имеет место и при Переход от одного типа финальных движений (при к другому (при связан с так называемой проблемой захвата, рассматривавшейся многими авторами [49], [51] — [53].

Согласно Шази назовем захватом в задаче трех тел следующий переход:

Наиболее полно проблема захвата рассмотрена В. М. Алексеевым [54], [55].

Согласно Алексееву частичным захватом в задаче трех тел называются переходы

Полным захватом называются переходы

Наконец, обменом в задаче трех тел называются переходы

Последние переходы содержат как тривиальные случаи (когда остается без изменений не только тип финальных движений, но и характер движений в системе трех тел), так и наиболее интересные случаи, когда роль компонент в материальной системе существенно меняется. Например,

2) тело было спутником при а при становится спутником

В. М. Алексеевым доказано, что все указанные типы переходов возможны в задаче трех тел. Иногда удается определить вероятность захвата [52], [55].

Финальные движения в задаче тел не изучены.