Глава 5. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

В задачах небесной механики и динамики космического -лета весьма часто приходится пользоваться специальными функциями. К их числу относятся эллиптические функции Якоби, функции Бесселя, сферические функции, гипергеометрические функции и т. д.

Функции Бесселя нашли применение в разложениях координат невозмущенного кеплеровского движения (см. ч. II, гл. 3), в теории движения ИСЗ в сопротивляющейся среде (см. ч. VI, гл. 2). Сферические функции и, в частности, полиномы Лежандра используются в теории притяжения (см. ч. VI, гл. 1). Большие удобства дает применение гипергеометрической функции при разложении возмущающей функции в классических задачах небесной механики (см. гл. 6). Через эллиптические функции Якоби выражается решение задачи о движении ИСЗ с учетом возмущений от фигуры Земли [19].

В этой главе содержатся основные сведения из теории специальных функций. Дополнительные сведения можно найти в учебных пособиях и монографиях [13] — [16]. Кроме того, можно рекомендовать таблицы и справочные руководства И. С. Градштейна и И. М. Рыжика [17], А. М. Журавского [18], Е. Янке и Ф. Эмде [19].

§ 5.01. Эллиптические интегралы и эллиптические функции

Определение. Эллиптическим интегралом 1-го рода называется функция

Величина называется модулем эллиптического интеграла. Величина называется дополнительным модулем. Целесообразно рассматривать лишь

Определение. Эллиптическим интегралом 2-го рода называется функция

Определение. Эллиптическим интегралом рода на Зывается функция

Величина — параметр эллиптического интеграла рода. Полный эллиптический интеграл 1-го рода:

Полный эллиптический интеграл 2-го рода:

Полный эллиптический интеграл рода:

Функциональные соотношения для эллиптических интегралов:

В приложениях часто используются следующие тригонометрические и степенные разложения:

При близком к 1 удобнее пользоваться разложениями

Для полных эллиптических интегралов 1-го и 2-го рода имеются разложения

Введем обозначения:

Функции удовлетворяют рекуррентным соотношениям.

Из рекуррентных соотношений (4.5.11) следует, что все при выражаются через Ни которые представляют собой эллиптические интегралы 1-, 2- и 3-го рода.

Определение. Функция, являющаяся результатом обращения эллиптического интеграла рода, называется амплитудой. Другими словами, если

то

Амплитуда — бесконечнозначная функция своего аргумента с периодом

Эллиптические функции Якоби:

Функции Якоби — двоякопериодические с периодами:

Эллиптические функции удовлетворяют следующим основным тождествам:

Основные степенные разложения для эллиптических функций:

Эти ряды сходятся при

Основные тригонометрические разложения:

где

Эллиптические функции Якоби удовлетворяют следующим дифференциальным уравнениям:

Дифференцирование эллиптических функций выполняется по формулам

Эллиптической функцией Вейерштрасса называется решение дифференциального уравнения

где

причем штрих в суммах означает, что тип одновременно не обращаются в нуль, любые комплексные числа, отношение которых не является вещественным числом.

Функция Вейерштрасса обозначается символом и одно из ее разложений вблизи имеет вид

Числа являются периодами функции

Основные соотношения для функции Вьйерштрасса:

— вещественные корни уравнения

Тэта-функции определяются соотношениями

Связь между тэта-функциями и эллиптическими функциями Якоби дается равенствами

Представление функций Якоби через тэта-функции является одним из наиболее эффективных способов вычисления их значений, поскольку разложения тэта-функций обладают очень быстрой сходимостью член имеет порядок

В настоящее время издано много таблиц, содержащих численные значения эллиптических интегралов и эллиптических функций [20] — [23].