§ 1.02. Канонические уравнения вращательного движения небесных тел

В классической теории вращательного движения небесных тел широкие приложения нашли методы вариации произвольных постоянных, характеризующих некоторое вращательное движение рассматриваемого тела, принимаемое за невозмущенное (промежуточное). Решение соответствующих уравнений вращательного движения в оскулирующих элементах проводится стандартными методами классической теории возмущений.

Наиболее ранние, уравнения возмущенного вращательного движения в оскулирующих элементах были получены с помощью канонических преобразований в работах Лагранжа [7], Лапласа [8], изложение которых содержится в трактате Ф. Тиссерана [1]. В нашем веке эти методы нашли развитие в работах Андуайе [2]. Приложение этих методов к конкретным задачам небесной механики и динамики космического полета можно найти в исследованиях М. С. Волкова [9], В. В. Белецкого [10], А. Депри [11], Ф. Бауже [12], В. Г. Демина и Ф. И. Киселева [13], Е. Б. Бибика [14] и др.

Рис. 102. Углы Эйлера.

Введем углы Эйлера, характеризующие положение абсолютно твердого тела, относительно некоторой системы координат OXYZ с началом в его центре масс и неизменными в неподвижном пространстве направлениями осей. Пусть — связанная с телом система координат, оси которой направлены по главным центральным осям эллипсоида инерции. Углы Эйлера введем, как

показано на рис. 102, на котором суть дуги больших кругов, а восходящий узел. Тогда

Обозначая теперь через Т живую силу тела, а через — силовую функцию и вводя канонические импульсы, сопряженные с углами Эйлера

приходим к следующей системе канонических уравнений вращательного движения небесного тела:

Первая система канонических уравнений:

в которых гамильтонова функция К равна

Соответствующее системе (9.1.11) уравнение Гамильтона — Якоби имеет вид

Другие системы канонических уравнений движения тела вокруг его центра масс связаны с выбором невозмущенного движения, интегрированием надлежащего уравнения Гамильтона — Якоби и каноническими преобразованиями.

Один из способов выбора невозмущенного движения связан со случаем Эйлера — Пуансо. Считая моменты сил, приложенных к небесному телу, малыми, можно в исходном приближении в качестве невозмущенного решения принять движение по Эйлеру — Пуансо. В этом случае, полагая в после его

интегрирования получим формулы, определяющие невозмущенное вращательное движение тела.

Пусть для определенности Положим

где — модуль кинетического момента поля, его живая сила, и введем вспомогательную переменную х так, что

Общее решение невозмущенной (упрощенной) задачи, определяющее эйлерово движение тела, тогда запишется в виде

Невозмущенное движение небесного тела удобно относить к системе координат, основной плоскостью которой служит неизменяемая (инвариантная) плоскость Лапласа, нормальная кинетическому моменту тела.

Рис. 103. Вспомогательные углы и дуги.

Основные плоскости и линии новой системы координат изображены на рис. 103 в пересечении со сферой единичного радиуса. Неизменяемая плоскость пересекает единичную сферу по большому кругу Пусть — точка пересечения новой оси абсцисс с этой сферой. По определению эйлеровых углов для новой системы отсчета имеем

Положение неизменяемой плоскости относительно старой системы координат задано следующими угловыми величинами:

Имеют место следующие соотношения, связывающие все введенные величины:

Теперь запишем полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби (9.1.13), определяющий эйлерово невозмущенное движение:

Здесь

Если ввести дуги

то полный интеграл (9.1.21) примет вид

Связь между двумя системами углов Эйлера и постоянными интегрирования дается формулами

Полный интеграл Гамильтона — Якоби приводит к следующим трем первым интегралам невозмущенного движения:

в которых — произвольные постоянные.

Вместо (9.1.26) можно также записать

От старых канонических переменных (эйлеровых углов и соответствующих им импульсов) можно перейти к новым каноническим переменным

При рассмотрении возмущенного движения небесного тела относительно его центра инерции переменные (9.1.28) могут быть приняты в качестве оскулирующих элементов. Уравнения возмущенного движения при этом будут иметь вид

Вторая система канонических уравнений:

в которых функция Гамильтона К должна быть выражена через время и шесть новых переменных.

Рис. 104. Канонические угловые переменные Андуайе.

Развитие изложенного и его приложения к задачам астрономии можно найти во втором томе сочинения Ф. Тиссерана [1].

Иной выбор канонических переменных предлагается М. Андуайе [2]. Позднее к нему же обращается А. Депри [11].

Последний вводит новые переменные следующим образом (см. рис. 104). Рассмотрим систему координат OXYZ и

Линию узлов плоскостей OXY и обозначим через Введем углы Эйлера

Построим неизменяемую плоскость Лапласа, проходящую через точку О и пересекающую плоскости и OXY соответственно по прямым и Пусть далее

— угол между плоскостями и — угол между плоскостями и Положим

где — момент количеств движения тела.

Величины являются сопряженными каноническими переменными, причем старые канонические переменные связаны с новыми соотношениями

а компоненты момента количеств движения равны

Гамильтониан задачи в этих переменных запишется следующим образом:

где — силовая функция.

Гамильтонова система уравнений движения имеет вид