§ 2.10. Определение элементов круговой орбиты по двум наблюдениям

Пусть небесное тело наблюдалось только два раза в моменты и пусть — две пары зафиксированных в эти моменты геоцентрических экваториальных координат. Для определения эллиптической орбиты двух наблюдений недостаточно, но возможно определить элементы круговой орбиты, соответствующей этим двум наблюдениям. Такая орбита может служить неплохим первым приближением для описания фактического движения небесного тела, если, разумеется, фактическая орбита имеет не слишком большой эксцентриситет.

Круговая орбита определяется четырьмя элементами: а (радиус орбиты), (долгота восходящего узла), (наклон), (долгота планеты в некоторый фиксированный момент времени Вычисление этих элементов производится следующим образом.

1. Вычисляются направляющие косйнусы геоцентрических радиусов-векторов по формулам (3.2.01), а также прямоугольные геоцентрические координаты Солнца на моменты .

2. Вычисляются величины

3. Составляются соотношения для геоцентрических расстояний и для гелиоцентрических прямоугольных координат

а также для угла между гелиоцентрическими радиусами-векторами

или

Последние две формулы, выведенные из геометрических соображений, определяют так называемое геометрическое значение угла Вместе с тем, поскольку небесное тело движется по круговой орбите радиуса а равномерно с угловой скоростью то за время гелиоцентрический радиус-вектор опишет угол Следовательно,

Последняя формула определяет так называемое динамическое значение угла

Соотношения (3.2.75) и (3.2.76) образуют систему двух уравнений относительно двух неизвестных Ее нетрудно решить, например, путем варьирования значений а и последующего интерполирования. При каждом заданном а можно вычислить непосредственно динамическое значение согласно (3.2.76), затем по формулам и далее геометрическое значение согласно (3.2.75). Искомое а должно быть таковым, что

4. Ось орбитальной системы координат принимается направленной в ту точку круговой орбиты, в которой небесное тело, движущееся по этой орбите, должно находиться в момент Ось повернута по отношению к оси как обычно, на 90° в плоскости орбиты по направлению движения небесного тела.

Векторные экваториальные элементы орбиты (см. (3.1.15)) вычисляются при таком выборе орбитальной системы координат по формулам

где

При этом надо иметь в виду, что угол со, выписанный в (3.1.15), представляет собой в данном случае угловое расстояние между восходящим узлом орбиты и точкой, в которой небесное тело находится в момент т. е. аргумент широты в этот момент. Этот угол обозначается через

5. Вычисляем по формулам (3.2.45), (3.2.46) направляющие косинусы перпендикуляра к плоскости орбиты в эклиптической

системе координат После этого из формул, аналогичных (3.2.47),

можно вычислить и

Искомая долгота в момент равна сумме и представляет собой так называемую долготу в орбите.

Для контроля вычислений служит формула (3.2.48), в которой следует заменить на

На этом определение всех четырех элементов круговой орбиты заканчивается. Дальнейшее сравнение полученной орбиты с наблюдениями сопровождается вычислением гелиоцентрических экваториальных прямоугольных координат на любой момент времени. Такие вычисления производятся по формулам (3.1.14), в которых следует положить