§ 1.02. Интерполяционные формулы

Пусть функция задана табл. 80. Интерполяционные формулы позволяют вычислять (вообще, приближенно) значения этой функции для промежуточных значений аргумента, не совпадающих с узлами таблицы. Эти формулы строятся с помощью так называемых интерполяционных полиномов, которые представляют собой полиномы по степеням независимой переменной, точно совпадающие с в узлах. Для удобства вычислений интерполяционные формулы располагаются по соответствующим разностям табл. 81.

Обозначим через значение аргумента, для которого требуется вычислить значение функции через ближайший к узел таблицы, и положим

так что

На практике используются чаще всего следующие интерполяционные формулы.

Формула Ньютона для интерполяции вперед (применяется, если

Формула Ньютона для интерполяции назад (применяется, если

Формула Стирлинга:

Формула Бесселя:

Формула Эверетта:

Формула Ньютона (7.1.06) используется также для экстраполяции вперед, т. е. для вычислений при значениях аргумента находящихся за пределами табл. 80 справа.

Если через обозначен последний справа узел табл. 80, то таблица разностей вида 81 будет содержать лишь разности с отрицательными нижними индексами. Для вычисления при используют формулу (7.1.06), но в этом случае

Точно так же можно экстраполировать для значений слева от начала табл. 80. Тогда применяется формула (7.1.05) при

Ценность формул Ньютона состоит в простоте структуры коэффициентов, в возможности экстраполяции и в возможности непосредственной интерполяции между узлами вблизи краев табл. 80, когда соответствующие разности с нижними индексами 0, 1 или 1/2 отсутствуют.

Формулы Стирлинга и Бесселя, вообще, более точные, чем формулы Ньютона. Формула Бесселя особенно удобна при интерполяции в точках, близких к середине интервала.

Формула Эверетта часто применяется при субтабулировании, т. е. для составления новой таблицы значений функции с более мелким шагом.

Формула Лагранжа:

где

Это — самая общая интерполяционная формула, выражающая значение функции в точке непосредственно через значения этой функции в узлах причем расположение этих узлов произвольное, принадлежит интервалу Правая часть полином по

Если узлы равноотстоящие, с шагом то формула Лагранжа приобретает следующий вид:

где биномиальные коэффициенты,

Полином в правой части (7.1.10) называется полиномом Лагранжа, и он дает приближенное представление функции на всем отрезке Он может применяться не только для вычислений промежуточных значений но и для различных операций с этой функцией (дифференцирование, интегрирование и др.).

Наивысший порядок разностей, сохраняемых в интерполяционной формуле, называется порядком этой формулы. Если таблица заданных значений функции достаточно обширна, то принципиально возможно составить разности достаточно высокого порядка и использовать соответственно интерполяционные формулы такого же высокого порядка. На практике обычно ограничиваются интерполяционными формулами не выше четвертого или пятого порядков. Отбрасываемые при вычислениях члены не должны, вообще говоря, превышать по абсолютной величине погрешность, которой обладают сами табличные значения функции. Строгая оценка погрешности и сравнение интерполяционных формул между собой по их точности производится с помощью анализа их так называемых остаточных членов.