§ 5.07. Функции Ламе

Определение. Уравнением Ламе в форме Вейерштрасса называется уравнение

где — эллиптическая функция Вейерштрасса, — целое неотрицательное число, В — некоторая постоянная.

Существует значение постоянной В, для которых решение уравнения Ламе имеет вид либо многочлена относительно либо произведения такого многочлена на множители вида

Итак, для заданного существует решение уравнения Ламе указанного вида, которые называются функциями Ламе степени 1-го разряда.

Если вещественны то при четном имеется вещественных и различных значений В, для которых уравнение (4.5.86) имеет решение вида

Для нечетного имеется вещественных и различных значений В, для которых решение уравнения Ламе имеет вид

Коэффициенты выражаются через В с помощью равенства

Для того чтобы уравнение Ламе (4.5.86) имело решения в конечном виде (4.5.87) и (4.5.88) относительно необходимо определять постоянную В из уравнений:

для четного из условия

для нечетного из условия

С помощью функций Ламе выражаются так называемые эллипсоидальные функции, являющиеся решениями уравнения Лапласа, преобразованного к эллипсоидальным координатам. Более подробно о функциях Ламе см. книги [16].