§ 3.02. Развернутая форма характеристических уравнений для задачи о движении ракеты

Пользуясь формулой для секундного расхода топлива (8.3.10), уравнение движения ракеты (8.3.01) при наличии внешней силы Ф можно написать в виде

где I — единичный вектор направления тяги, (-вектор ракеты в неподвижной системе координат с — модуль относительной скорости истечения газов.

К уравнениям (8.3.13) можно присоединить еще три условия:

а) условие (8.3.10)

определяющее массу ракеты, если известна зависимость секундного расхода топлива от времени;

б) тождество

где — направляющие косинусы вектора тяги;

в) условие ограниченности секундного расхода топлива

где — максимальное значение секундного расхода топлива. Неравенство (8.3.16) эквивалентно уравнению [52]

где а — вспомогательная управляющая переменная.

Управляющая вектор-функция в общем случае имеет компоненты а. Величины характеризуют ориентацию вектора тяги, а — ограниченность Если управляющий пятимерный вектор известен и непрерывен, то при заданных начальных условиях

траектория ракеты и закон изменения массы М определяются единственным образом (если сила есть непрерывная функция).

Пусть требуется определить такую оптимальную траекторию ракеты, на которой некоторый функционал принимает минимальное значение при

Функция Лагранжа (8.1.30) в данном случае будет иметь

где

— множители Лагранжа.

Система характеристических уравнений (8.1.33) и (8.1.29) с функцией Лагранжа (8.3.19) имеет вид

Система (8.3.20) содержит семь дифференциальных и пять алгебраических уравнений.