§ 3.06. Максимизация горизонтальной дальности полета ракеты в однородном поле тяжести при заданной программе расхода топлива

Пусть движение ракеты исследуется при следующих допущениях:

а) Земля считается плоской и ускорение силы тяжести постоянно,

б) сопротивление атмосферы отсутствует;

в) программа расхода топлива — заданная функция времени

г) вектор тяги всегда лежит в вертикальной плоскости проходящей через точку запуска О;

д) двигатель работает при после чего выключается и ракета дальше движется под действием силы тяжести;

е) скорость истечения продуктов сгорания с постоянна.

Формулировка задачи. Требуется найти функцию управляющую ориентацией силы тяги, обеспечивающую максимальную горизонтальную дальность ракеты (рис. 81).

Движение ракеты описывается системой уравнений

Кроме того, заданы начальные условия:

При никаких условий не наложено.

Рис. 81. Оптимальная траектория перелета. — активный участок полета; А — точка выключения двигателей; — оптимальная управляющая функция.

Рассматривая (8.3.42) как уравнения связи, можно сделать вывод, что данная вариационная задача является задачей Майера. Функция Лагранжа (8.3.19) имеет вид

Исследуя обобщенные уравнения Эйлера — Лагранжа с функцией (8.3.43), Лоуден показал [2], что управляющая функция (угол наклона вектора тяги к горизонту) находится из условия

где — проекции скорости ракеты в точке А выключения двигателя (рис. 82). Из (8.3.44) следует, что максимальная дальность достигается при постоянном независимо от заданной программы расхода топлива так как последняя не входит в (8.3.44).

Рис. 82. Полет ракеты в однородном поле тяжести. — касательная к траектории в точке А.

Чтобы решить уравнения движения (8.3.42) и определить однозначно нужно задать конкретный вид функции Лоуденом показано [20], [66], что при