§ 5.08. Полиномы Гегенбауэра. Коэффициенты Лапласа

Определение. Полиномами Гегенбауэра называются коэффициенты разложения

С помощью гипергеометрического ряда они представляются формулой

Основные рекуррентные соотношения для полиномов Гегенбауэра:

Тригонометрическое представление для

Кроме того, отметим, что полиномы Гегенбауэра ортогональны на отрезке с весом

Определение. Коэффициенты разложения

называются коэффициентами Лапласа. Они выражаются через гипергеометрический ряд с помощью формул

где — символ Аппеля (4.5.23).

Первый из рядов (4.5.94) сходится (см. § 5.01) при а второй — при Для больших значений применение первого ряда (4.5.94) более выгодно, поскольку в этом случае его коэффициенты быстро стремятся к нулю. Если то второй ряд (4.5.94) расходится, но для любого конечного им можно пользоваться, так как он является асимптотическим. В развернутом виде ряды (4.5.94) имеют вид

В частности,

Основные рекуррентные соотношения для коэффициентов Лапласа:

Соотношения (4.5.96) позволяют определить все коэффициенты Лапласа, если известны коэффициенты

Интегральные представления для коэффициентов Лапласа:

где и - полные эллиптические интегралы 1-го и 2-го рода.

Наряду с последним рекуррентным соотношением (4.5.96) применяется другое соотношение, выведенное Ньюкомом. Введем величины

которые называются коэффициентами Ньюкома и функцией Ньюкома соответственно. Очевидно, что

Для «логарифмических производных» функций Ньюкома имеется рекуррентное соотношение

В аналитических выкладках использование иногда оказывается более удобным, чем использование коэффициентов Лапласа.