Глава 7. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ КООРДИНАТ

Так как подавляющее большинство задач небесной механики не относится к интегрируемым в квадратурах, для их решения разработаны различные варианты метода последовательных приближений. В настоящей главе будут приведены основные формулы для вычисления возмущений координат в задаче о движении двух планет, причем ради определенности центральное тело будем называть Солнцем. Аналитические методы вычисления возмущений координат излагаются в [1]-{7].

§ 7.01. Метод Хилла

Дифференциальные уравнения для возмущений прямоугольных гелиоцентрических координат и цилиндрических , использовавшихся Хиллом [2], [4], имеют вид

где

Здесь — возмущающая функция, — постоянная тяготения, — масса Солнца, — масса возмущаемой планеты — невозмущенные величины.

Интегрирование уравнений (4.7.01) по методу Хилла дает для возмущений прямоугольных гелиоцентрических координат следующие интегральные соотношения:

где — два линейно независимых частных решения уравнения

Интегральные соотношения (4.7.05) для содержат шесть произвольных постоянных (они входят в интегралы Возмущение содержит три произвольные постоянные. Однако имеется только шесть независимых

произвольных постоянных, так как возмущения связаны тождествами

Произвольные постоянные интегрирования могут быть определены различными способами. Например, они могут быть определены из условия выбора оскулирующих элементов:

Ганзен предложил определять произвольные постоянные интегрирования не из условия «оскуляции» (в начальный момент возмущения координат и скоростей или возмущения элементов равны нулю), а из условия, что в формулах возмущенной теории могут отсутствовать те или иные возмущения. Например, в методе Хилла возмущение долготы имеет вид

где произвольные постоянные интегрирования, — невозмущенная истинная аномалия, — некоторый тригонометрический многочлен относительно

Если бы определялись из условия оскулирующих элементов, то следовало бы написать для них уравнения

Если же определяются по Ганзену, то лучше всего положить Тогда возмущение периодически зависит от V.

Очевидно, что в этом случае элементы возмущенной орбиты, хотя и определяются уравнениями для оскулирующих элементов, на самом деле не являются оскулирующими. Ганзен предложил назвать эти элементы средними элементами. Средние элементы получили большое распространение в аналитической небесной механике, так как они очень часто представляют астрономические наблюдения на больших промежутках времени лучше, чем оскулирующие элементы. Математический аспект введения «средних» элементов в аналитические теории движения небесных тел изучен в монографии [36)

Если в качестве взяты частные решения

то возмущениям координат можно придать вид

где — среднее движение возмущаемой планеты а — большая полуось ее орбиты, — параметр, — истинная аномалия, — постоянная величина под знаком интеграла, которую после интегрирования надо положить равной

Возмущения цилиндрических координат имеют вид

Интегральные соотношения (4.7.11) и (4.7.12) являются точными. Для определения возмущений по этим формулам применяется метод последовательных приближений.

Для определения лишней произвольной постоянной следует воспользоваться равенством

Для получения возмущений первого порядка необходимо подставить в (4.7.12) невозмущенные значения координат и элементов (на это указывает нижний индекс «0»)

где

Формулы для возмущений первого порядка (4.7.14) написаны при условии, что за основную координатную плоскость выбрана плоскость невозмущенной орбиты

Подробные рекомендации, необходимые для использования метода Хилла, можно найти в [2], [28].

Замечание. В качестве переменной интегрирования можно принять не только истинную аномалию возмущаемой планеты но и другие переменные, например, время или эксцентрическую аномалию Е.